MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 236

Dla punktu $A(x,y)$ przyjmujemy $r=\sqrt{x^2+y^2}$ oraz $\sin\alpha=\frac yr$, $\cos\alpha=\frac xr$, $\operatorname{tg}\alpha=\frac yx$, $\operatorname{ctg}\alpha=\frac xy$.

a) $r=\sqrt{8^2+6^2}=10$. Zatem $\sin\alpha=\frac35$, $\cos\alpha=\frac45$, $\operatorname{tg}\alpha=\frac34$, $\operatorname{ctg}\alpha=\frac43$.

b) $r=5$. Zatem $\sin\alpha=-\frac45$, $\cos\alpha=-\frac35$, $\operatorname{tg}\alpha=\frac43$, $\operatorname{ctg}\alpha=\frac34$.

c) $r=13$. Zatem $\sin\alpha=-\frac{12}{13}$, $\cos\alpha=\frac5{13}$, $\operatorname{tg}\alpha=-\frac{12}{5}$, $\operatorname{ctg}\alpha=-\frac5{12}$.

d) $r=4\sqrt2$. Zatem $\sin\alpha=-\frac{\sqrt2}{2}$, $\cos\alpha=\frac{\sqrt2}{2}$, $\operatorname{tg}\alpha=-1$, $\operatorname{ctg}\alpha=-1$.

Redukujemy kąty modulo $360^\circ$ dla sinusa i cosinusa oraz modulo $180^\circ$ dla tangensa:

a) $765^\circ=720^\circ+45^\circ$, więc $\sin765^\circ=\frac{\sqrt2}{2}$.

b) $1200^\circ=1080^\circ+120^\circ$, więc $\cos1200^\circ=-\frac12$.

c) $810^\circ=4\cdot180^\circ+90^\circ$, a tangens dla $90^\circ$ nie istnieje.

d) $-1395^\circ=-1440^\circ+45^\circ$, więc $\cos(-1395^\circ)=\frac{\sqrt2}{2}$.

e) $-1710^\circ=-1800^\circ+90^\circ$, więc $\sin(-1710^\circ)=1$.

f) $420^\circ=360^\circ+60^\circ$, więc $\operatorname{tg}420^\circ=\sqrt3$.

g) $960^\circ=720^\circ+240^\circ$, więc $\sin960^\circ=-\frac{\sqrt3}{2}$.

h) $-750^\circ=-720^\circ-30^\circ$, więc $\operatorname{tg}(-750^\circ)=-\frac{\sqrt3}{3}$.

a) Podstawiamy $\cos180^\circ=-1$, $\sin120^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$, $\cos150^\circ=-\frac{\sqrt3}{2}$, $\operatorname{tg}45^\circ=1$ i $\operatorname{tg}135^\circ=-1$:

$\frac{1-(-\frac34)}{1-(-1)}=\frac{\frac74}{2}=\frac78.$

b) Dla $405^\circ=360^\circ+45^\circ$ mamy $\sin^2 405^\circ=\cos^2 405^\circ=\frac12$ i $\operatorname{tg}405^\circ=1$. Zatem

$\frac{\frac14+\frac14}{\frac12\cdot1}=1.$

Miara łukowa kąta środkowego spełnia $\varphi=\frac lr$. Następnie używamy $\pi\ \mathrm{rad}=180^\circ$.

a) $\varphi=\frac\pi2=90^\circ$.

b) $\varphi=\frac{4\pi}{8}=\frac\pi2=90^\circ$.

c) $\varphi=\frac{(2/3)\pi}{4}=\frac\pi6=30^\circ$.

d) $\varphi=\frac{(2/3)\pi}{8}=\frac\pi{12}=15^\circ$.

Znaki funkcji ustalamy z podanej ćwiartki.

a) W II ćwiartce cosinus jest ujemny: $\cos x=-\sqrt{1-\frac19}=-\frac{2\sqrt2}{3}$. Stąd $\operatorname{tg}x=-\frac{\sqrt2}{4}$ i $\operatorname{ctg}x=-2\sqrt2$.

b) W IV ćwiartce cosinus jest dodatni: $\cos x=\sqrt{1-\frac15}=\frac{2\sqrt5}{5}$. Stąd $\operatorname{tg}x=-\frac12$ i $\operatorname{ctg}x=-2$.

c) W III ćwiartce sinus i cosinus są ujemne. Dla proporcji przyprostokątnych $\sqrt5:2$ przeciwprostokątna wynosi $3$, więc $\sin x=-\frac{\sqrt5}{3}$, $\cos x=-\frac23$, $\operatorname{ctg}x=\frac{2\sqrt5}{5}$.

d) W II ćwiartce przy $\operatorname{tg}x=-3$ możemy przyjąć boki $3$ i $-1$ oraz przeciwprostokątną $\sqrt{10}$. Zatem $\sin x=\frac{3\sqrt{10}}{10}$, $\cos x=-\frac{\sqrt{10}}{10}$, $\operatorname{ctg}x=-\frac13$.

a) $0{,}6^2+0{,}8^2=1$, a iloraz $\frac{0{,}6}{0{,}8}=0{,}75$ jest spójny z tymi wartościami. Taki kąt istnieje.

b) $0{,}5^2+0{,}5^2=0{,}5\ne1$, więc taki kąt nie istnieje.

c) Z $\operatorname{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}$ wynikałoby $\cos x=\frac{2/3}{1/3}=2$, co jest niemożliwe.

d) Z podanych wartości wynika $\cos x=\frac{5/13}{5/12}=\frac{12}{13}$. Ponieważ $\left(\frac5{13}\right)^2+\left(\frac{12}{13}\right)^2=1$, taki kąt istnieje.

Tangens jest ilorazem $\frac{\sin x}{\cos x}$, dlatego nie istnieje dla $\cos x=0$, czyli dla $x=\frac\pi2+k\pi$. Ma okres podstawowy $\pi$.

Miejsca zerowe spełniają $\sin x=0$, zatem $x=k\pi$. Na każdym przedziale między kolejnymi asymptotami pionowymi wykres biegnie od $-\infty$ do $\infty$ i jest rosnący:

$\left(-\frac\pi2+k\pi;\frac\pi2+k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z.$