MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 234

W każdym podpunkcie dzielimy licznik i mianownik przez odpowiednią potęgę $\cos\alpha$ i korzystamy z $\operatorname{tg}\alpha=3$.

a)

=\frac{3\operatorname{tg}\alpha-2}{5}=\frac75.$$ **b)** $$\frac{4\sin^2\alpha+5\cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} =4\operatorname{tg}\alpha+\frac5{\operatorname{tg}\alpha} =12+\frac53=\frac{41}{3}.$$ **c)** $$\frac{(\sin\alpha+\cos\alpha)^2}{\cos^2\alpha} =(\operatorname{tg}\alpha+1)^2=16.$$

Korzystamy z $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ i $\sin\alpha\cos\alpha=\frac13$.

a) $(\sin\alpha+\cos\alpha)^2=1+2\sin\alpha\cos\alpha=\frac53.$

b) $(\sin\alpha-\cos\alpha)^2=1-2\sin\alpha\cos\alpha=\frac13.$

c)

$$(\sin^2\alpha-\cos^2\alpha)^2 =(\sin\alpha-\cos\alpha)^2(\sin\alpha+\cos\alpha)^2 =\frac13\cdot\frac53=\frac59.$$

W trójkącie prostokątnym $\beta=90^\circ-\alpha$, więc $\sin\beta=\cos\alpha$ i $\cos\beta=\sin\alpha$.

a) Zatem $\cos\alpha+\cos\beta=\cos\alpha+\sin\alpha=\frac75$.

b) Podnosimy dane równanie do kwadratu:

$\left(\sin\alpha+\cos\alpha\right)^2=1+2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{49}{25}.$

Stąd $\sin\alpha\cos\alpha=\frac{12}{25}$, czyli $\sin\alpha\sin\beta=\frac{12}{25}$.

c) $\cos\alpha\cos\beta=\cos\alpha\sin\alpha=\frac{12}{25}$.

Niech boki naprzeciw $\alpha,\beta$ mają długości odpowiednio $a,b$, a przeciwprostokątna $10$.

a) Ponieważ $\cos\beta=\sin\alpha$, mamy $\sin^2\alpha=0{,}36$, więc $\sin\alpha=0{,}6$. Stąd $a=6$, $b=8$, $\alpha\approx37^\circ$ i $\beta\approx53^\circ$.

b) $\operatorname{tg}\beta=\operatorname{ctg}\alpha$. Dla $t=\operatorname{tg}\alpha>0$ warunek ma postać $t+\frac1t=2$, czyli $(t-1)^2=0$. Zatem $\alpha=\beta=45^\circ$ i $a=b=5\sqrt2$.

c) $\operatorname{tg}\beta=\operatorname{ctg}\alpha$, więc

$\cos\alpha\operatorname{tg}\beta=\frac{\cos^2\alpha}{\sin\alpha}=\frac32.$

Dla $s=\sin\alpha$ otrzymujemy $\frac{1-s^2}{s}=\frac32$, czyli $2s^2+3s-2=0$. Dodatnim pierwiastkiem jest $s=\frac12$, zatem $\alpha=30^\circ$, $\beta=60^\circ$, $a=5$, $b=5\sqrt3$.

a)

$$\left(\operatorname{tg}\alpha+\frac1{\operatorname{tg}\alpha}\right)^2 =\left(\frac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}\right)^2 =\frac1{(1-\cos^2\alpha)\cos^2\alpha}.$$

Dla $\cos\alpha=\frac12$ wartość wynosi $\frac{16}{3}$.

b)

=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1,$$ więc wartość to $-\frac12$. **c)** $$\frac{\operatorname{tg}^2\alpha}{1+\operatorname{tg}^2\alpha} =\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha,$$ więc wartość to $\frac34$.

a) Mały trójkąt o wysokości $3$ i kącie $30^\circ$ ma podstawę $\frac3{\tan30^\circ}=3\sqrt3$. Cała podstawa dużego trójkąta ma więc długość

$3\sqrt3+9-2\sqrt3=9+\sqrt3.$

Zatem $x=(9+\sqrt3)\tan30^\circ=1+3\sqrt3$.

b) Podstawa dużego trójkąta ma długość $\frac1{\tan30^\circ}=\sqrt3$, a podstawa prawego małego trójkąta $\frac1{\tan60^\circ}=\frac{\sqrt3}{3}$. Stąd

$x=\sqrt3-\frac{\sqrt3}{3}=\frac{2\sqrt3}{3}.$

c) Nachylenie przekątnej wynosi $\tan30^\circ=\frac1{\sqrt3}$. Na poziomej odległości $9$ osiąga ona wysokość $3\sqrt3$. Szukany odcinek leży ponad poziomem wysokości $2$, więc $x=3\sqrt3-2$.

Niech $d_1$ i $d_2$ oznaczają poziome odległości pontonu od latarni odpowiednio przed i po zbliżeniu. Z definicji tangensa:

\operatorname{tg}35^\circ=\frac{30}{d_2}.$$ Zatem $$d_1-d_2=\frac{30}{\operatorname{tg}10^\circ}-\frac{30}{\operatorname{tg}35^\circ} \approx170{,}14-42{,}84\approx127{,}3\ \mathrm m.$$

Niech $d$ będzie poziomą odległością kutra od latarni, a $h$ wysokością niższego okna nad poziomem morza. Kąty depresji są równe kątom wzniesienia, więc

$\operatorname{tg}10^\circ=\frac hd,$ $\operatorname{tg}11^\circ=\frac{h+4}{d}.$

Po odjęciu równań:

$\operatorname{tg}11^\circ-\operatorname{tg}10^\circ=\frac4d,$

czyli

$d=\frac4{\operatorname{tg}11^\circ-\operatorname{tg}10^\circ}\approx221{,}5\ \mathrm m.$