MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 233

Z rysunku: $a$ leży naprzeciw kąta $\alpha$, $b$ przy kącie, a $c$ jest przeciwprostokątną.

a) $\operatorname{tg}\alpha=\frac ab=2$, więc $b=3$. Z twierdzenia Pitagorasa $c=\sqrt{6^2+3^2}=3\sqrt5$. Stąd $\sin\alpha=\frac{2\sqrt5}{5}$, $\cos\alpha=\frac{\sqrt5}{5}$ i $\operatorname{ctg}\alpha=\frac12$.

b) Z $\sin\alpha=\frac ac=\frac45$ dostajemy $c=\frac52$, a następnie $b=\sqrt{c^2-a^2}=\frac32$. Zatem $\cos\alpha=\frac35$, $\operatorname{tg}\alpha=\frac43$, $\operatorname{ctg}\alpha=\frac34$.

c) Warunek $\cos\alpha=\frac bc=\frac15$ daje $b=\frac c5$. Równanie $6^2+b^2=c^2$ prowadzi do $c=\frac{5\sqrt6}{2}$ i $b=\frac{\sqrt6}{2}$. Stąd $\sin\alpha=\frac{2\sqrt6}{5}$, $\operatorname{tg}\alpha=2\sqrt6$, $\operatorname{ctg}\alpha=\frac{\sqrt6}{12}$.

d) Niech $b=t$, wtedy $a=3t$ i $c^2=10t^2=5$. Zatem $b=\frac{\sqrt2}{2}$, $a=\frac{3\sqrt2}{2}$. Otrzymujemy $\sin\alpha=\frac{3\sqrt{10}}{10}$, $\cos\alpha=\frac{\sqrt{10}}{10}$, $\operatorname{ctg}\alpha=\frac13$.

Korzystamy z oznaczeń z rysunku: $a$ jest bokiem naprzeciw $\alpha$, $b$ bokiem przyległym, a $c$ przeciwprostokątną; $\beta=90^\circ-\alpha$.

a) $\sin30^\circ=\frac{40}{c}$, więc $c=80$. Dalej $b=c\cos30^\circ=40\sqrt3$ i $\beta=60^\circ$.

b) $\cos60^\circ=\frac6c$, więc $c=12$. Dalej $a=c\sin60^\circ=6\sqrt3$ i $\beta=30^\circ$.

c) Mamy

$b=\sqrt3(\sqrt2-1)=\sqrt3a,$

więc $\operatorname{tg}\alpha=\frac ab=\frac1{\sqrt3}$. Stąd $\alpha=30^\circ$, $\beta=60^\circ$, a $c=2a=2(\sqrt2-1)$.

Korzystamy ze związków funkcji kątów dopełniających oraz z jedynki trygonometrycznej.

a) $\cos\alpha=\frac{12}{13}$, więc $\sin\alpha=\frac5{13}$. Zatem $\operatorname{tg}\alpha=\frac5{12}$ i $\operatorname{ctg}\alpha=\frac{12}{5}$.

b) $\sin\alpha=\frac34$, więc

$\cos\alpha=\sqrt{1-\frac9{16}}=\frac{\sqrt7}{4}.$

Stąd $\operatorname{tg}\alpha=\frac{3\sqrt7}{7}$ i $\operatorname{ctg}\alpha=\frac{\sqrt7}{3}$.

c) $\operatorname{ctg}\alpha=\frac7{24}$, zatem można przyjąć przyprostokątne $7$ i $24$ oraz przeciwprostokątną $25$. Otrzymujemy $\sin\alpha=\frac{24}{25}$, $\cos\alpha=\frac7{25}$ i $\operatorname{tg}\alpha=\frac{24}{7}$.

Ponieważ $\alpha$ jest ostry, wszystkie wartości są dodatnie.

a) $\sin\alpha=\sqrt{1-\frac{49}{625}}=\frac{24}{25}$, więc $\operatorname{tg}\alpha=\frac{24}{7}$ i $\operatorname{ctg}\alpha=\frac7{24}$.

b) $\cos\alpha=\sqrt{1-\frac{64}{289}}=\frac{15}{17}$, więc $\operatorname{tg}\alpha=\frac8{15}$ i $\operatorname{ctg}\alpha=\frac{15}{8}$.

c) Dla $\operatorname{tg}\alpha=\sqrt6$ przyjmujemy przyprostokątne $\sqrt6$ i $1$, zatem przeciwprostokątna ma długość $\sqrt7$. Stąd $\sin\alpha=\frac{\sqrt{42}}7$, $\cos\alpha=\frac{\sqrt7}{7}$, $\operatorname{ctg}\alpha=\frac{\sqrt6}{6}$.

d) Dla przyprostokątnych $2\sqrt2$ i $1$ przeciwprostokątna ma długość $3$. Zatem $\sin\alpha=\frac{2\sqrt2}{3}$, $\cos\alpha=\frac13$, $\operatorname{ctg}\alpha=\frac{\sqrt2}{4}$.

a) $\frac{3-\sin\alpha}{5}=\frac12$ daje $\sin\alpha=\frac12$, zatem $\alpha=30^\circ$.

b) Po podzieleniu przez dodatnie $\cos\alpha$ mamy $\operatorname{tg}\alpha=\sqrt3$, więc $\alpha=60^\circ$.

c) Ponieważ $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$, równanie przyjmuje postać $\sqrt2\sin\alpha=1$. Stąd $\sin\alpha=\frac{\sqrt2}{2}$ i $\alpha=45^\circ$.

d) Równość odwrotności daje $\sin\alpha=\cos\alpha$, czyli $\alpha=45^\circ$.

e) Rozkładamy $1-\sin^4\alpha=(1-\sin^2\alpha)(1+\sin^2\alpha)=\cos^2\alpha(1+\sin^2\alpha)$. Zatem $1+\sin^2\alpha=\frac32$, więc $\alpha=45^\circ$.

f) Licznik jest równy $\sin\alpha(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)=\sin\alpha$. Wyrażenie upraszcza się do $\frac1{\cos\alpha}=2$, zatem $\cos\alpha=\frac12$ i $\alpha=60^\circ$.