MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 232

a) Niech $2<x_1<x_2$. Wtedy

$$f(x_2)-f(x_1) =-\frac{2x_2}{x_2-2}+\frac{2x_1}{x_1-2} =\frac{4(x_2-x_1)}{(x_1-2)(x_2-2)}.$$

Licznik i oba czynniki mianownika są dodatnie, zatem $f(x_2)>f(x_1)$. Funkcja jest więc rosnąca w $(2;\infty)$.

b) Niech $-1<x_1<x_2$. Mamy

$$f(x_2)-f(x_1) =\frac{x_2+5}{x_2+1}-\frac{x_1+5}{x_1+1} =\frac{4(x_1-x_2)}{(x_1+1)(x_2+1)}.$$

Licznik jest ujemny, a mianownik dodatni, więc $f(x_2)<f(x_1)$. Funkcja jest malejąca w $(-1;\infty)$.

a) Aby zbiorem rozwiązań był ograniczony przedział dodatni, musi być $m>0$. Wtedy

$\frac4x>m\iff \frac{4-mx}{x}>0\iff x\in\left(0;\frac4m\right).$

Porównanie prawego końca z $4$ daje $\frac4m=4$, czyli $m=1$.

b) Dla $m<0$ nierówność $-\frac2x<m$ ma zbiór rozwiązań $\left(0;-\frac2m\right)$. Warunek $-\frac2m=4$ daje $m=-\frac12$.

c) Gdy $m\ne0$, mamy

$\frac1x>m^2\iff x\in\left(0;\frac1{m^2}\right).$

Stąd $\frac1{m^2}=4$, więc $m^2=\frac14$ i $m=\pm\frac12$. Dla $m=0$ rozwiązaniem byłoby całe $(0;\infty)$.

Brak punktu wspólnego z prostą $x=-2$ oznacza, że $x=-2$ nie należy do dziedziny funkcji. Zatem

$a(-2)+6=0,$

czyli $a=3$. Otrzymujemy $f(x)=\frac{2x-1}{3x+6}$.

Punkty wspólne z prostą $y=x$ spełniają

$\frac{2x-1}{3x+6}=x,\qquad x\ne-2,$ $3x^2+4x+1=0,$ $(3x+1)(x+1)=0.$

Stąd $x=-1$ albo $x=-\frac13$; w obu punktach $y=x$.

Asymptota pionowa ma równanie $x=3$, a pozioma $y=3$, więc

$f(x)=\frac{a}{x-3}+3.$

Funkcja jest malejąca, zatem $a>0$. Ponieważ jej miejscem zerowym jest $1$,

$0=f(1)=\frac{a}{-2}+3,$

więc $a=6$ i

$f(x)=\frac6{x-3}+3=\frac{3x-3}{x-3}.$

Rozwiązujemy nierówność:

\iff \frac{2x}{x-3}\le0.$$ Punkty krytyczne to $0$ i $3$; analiza znaków daje $x\in\langle0;3)$.

Środek hiperboli jest punktem przecięcia jej osi symetrii. Z układu

$y=-x+1,\qquad y=x+5$

otrzymujemy $(-2,3)$. Asymptoty mają więc równania $x=-2$ i $y=3$, zatem

$f(x)=\frac{a}{x+2}+3.$

Warunek $f(0)=2$ daje $\frac a2+3=2$, czyli $a=-2$. Stąd

$f(x)=-\frac2{x+2}+3=\frac{3x+4}{x+2}.$

Licznik zeruje się dla $3x+4=0$, więc miejscem zerowym jest $-\frac43$.

Niech $v$ oznacza prędkość wolniejszego samochodu. Szybszy jedzie z prędkością $v+10$. Różnica czasów przejazdu wynosi godzinę:

$\frac{560}{v}-\frac{560}{v+10}=1.$

Po pomnożeniu przez $v(v+10)$:

$5600=v^2+10v,$ $v^2+10v-5600=0,$ $v\in\{70,-80\}.$

Prędkość musi być dodatnia, więc $v=70$ km/h, a $v+10=80$ km/h.

Każdy rowerzysta przejechał do miejsca spotkania $63$ km. Niech wolniejszy, który wyjechał wcześniej, jedzie z prędkością $v$, a drugi z prędkością $v+4$. Czas pierwszego był o godzinę dłuższy:

$\frac{63}{v}-\frac{63}{v+4}=1.$

Stąd

$252=v(v+4),$ $v^2+4v-252=0,$ $v\in\{14,-18\}.$

Odrzucamy wartość ujemną. Prędkości wynoszą więc $14$ km/h i $18$ km/h.

Niech $v$ oznacza prędkość prądu w km/h. Prędkości motorówki względem brzegu to $20+v$ w dół i $20-v$ w górę. Ponieważ $22{,}5$ min $=\frac38$ h,

$\frac{18}{20-v}-\frac{18}{20+v}=\frac38.$

Po uproszczeniu:

$\frac{36v}{400-v^2}=\frac38,$ $3v^2+288v-1200=0,$ $v^2+96v-400=0.$

Pierwiastki to $4$ i $-100$. Warunki $0<v<20$ spełnia tylko $v=4$.