MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 231

Dziedzinę wyznaczamy z mianownika, a miejsca zerowe z licznika, po sprawdzeniu, że nie są wykluczone.

a) $D=\mathbb R\setminus\{\frac34\}$, zero $-\frac78$.

b) $D=\mathbb R\setminus\{0\}$, zera $-\frac32$ i $2$.

c) $D=\mathbb R\setminus\{2,5\}$, zero $8$.

d) $D=\mathbb R\setminus\{-1,1\}$, zero $7$.

Sprowadzamy funkcję do postaci kanonicznej i wybieramy takie całkowite argumenty, dla których także wartość jest całkowita.

a) $(-2,1),(0,-1),(2,5),(4,3)$.

b) $(-25,-3),(-17,-4),(-13,-6),(-11,-10),(-10,-18),(-8,14), (-7,6),(-5,2),(-1,0),(7,-1)$.

c) $(-13,1),(-10,0),(-9,-1),(-8,-4),(-6,8),(-5,5),(-4,4),(-1,3)$.

d) $(-10,2),(-4,1),(-2,0),(-1,-1),(0,-3),(1,-9),(3,15), (4,9),(5,7),(6,6),(8,5),(14,4)$.

Rozwiązujemy nierówność, a następnie wybieramy największą liczbę całkowitą należącą do zbioru rozwiązań.

a) $x<-2$, więc największa liczba całkowita to $-3$.

b) $x\in(-\frac14,\frac13)$, więc największa jest $0$.

c) $x\in(-\infty,-2)\cup(1,4)$, więc największa jest $3$.

d) $x\in(-1,-\frac12)\cup[0,1]$, więc największa jest $1$.

Po usunięciu mianowników rozwiązujemy otrzymane równania i odrzucamy liczby spoza dziedziny.

a) $x=2$ lub $x=12$; b) $x=-\frac1{15}$ lub $x=\frac{11}{15}$; c) $x=-1$; d) $x=0$; e) $x=\frac74$; f) $x=-\frac73$ lub $x=-\frac53$.

Wyznaczamy zera licznika oraz mianownika i korzystamy z tabeli znaków.

a) $x\in(-\infty,-1)\cup(2,\infty)$.

b) $x\in(\frac76,\frac43)\cup(\frac43,\frac32)$; punkt $\frac43$ jest wykluczony z dziedziny.

c) $x\in(-\infty,-3)\cup(-3,\frac32]$.

Po sprowadzeniu do wspólnego mianownika wyznaczamy punkty krytyczne i odczytujemy znaki na kolejnych przedziałach.

a) $(-\infty,-7)\cup(-1,\infty)$.

b) $[1,3)\cup(3,4]$.

c) $(-\infty,0)\cup(2,\infty)$.

Przekształcamy warunek do nierówności wymiernej względem parametru $m$. Punkty krytyczne to $0$, $3$ i $6$; tabela znaków oraz warunki dziedziny prowadzą do $m\in(0,3)\cup(6,\infty).$