MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 229

Z wykresu odczytujemy asymptoty $x=1$ i $y=2$, a punkt na gałęzi daje licznik równy $3$. Zatem $f(x)=\frac3{x-1}+2,$ czyli $[p,q]=[1,2]$. Miejsce zerowe to $x=-\frac12$. Badanie znaku po odjęciu prawej strony daje $f(x)>5\iff x\in(1,2),$ $f(x)<3\iff x\in(-\infty,1)\cup(4,\infty).$

Dzielimy licznik przez mianownik i badamy znak.

a) $f=3-\frac9{x-3}$; $D,W$ wykluczają $3$, zero $0$, $f>0$ na $(-\infty,0)\cup(3,\infty)$.

b) $f=-2+\frac1{x-2}$; $D$ wyklucza $2$, $W$ wyklucza $-2$, zero $\frac32$, dodatnia na $(\frac32,2)$.

c) $f=2-\frac1{x+2}$; $D$ wyklucza $-2$, $W$ wyklucza $2$, zero $-\frac32$, dodatnia na $(-\infty,-2)\cup(-\frac32,\infty)$.

d) $f=-3-\frac3{x+3}$; $D,W$ wykluczają $-3$, zero $-2$, dodatnia na $(-3,-2)$.

e) $f=3+\frac3{x-3}$; $D,W$ wykluczają $3$, zero $4$, dodatnia na $(-\infty,3)\cup(4,\infty)$.

f) $f=3+\frac3{x+3}$; $D$ wyklucza $-3$, $W$ wyklucza $3$, zero $-4$, dodatnia na $(-\infty,-4)\cup(-3,\infty)$.

Po dzieleniu otrzymujemy postać kanoniczną; przecięcia z osiami wyznaczamy, kładąc kolejno $y=0$ i $x=0$.

a) $g=\frac2{x-5}-1=\frac{-x+7}{x-5}$; $(7,0)$ i $(0,-\frac75)$.

b) $g=2-\frac3{x+3}=\frac{2x+3}{x+3}$; $(-\frac32,0)$ i $(0,1)$.

c) $g=4-\frac7{x+3}=\frac{4x+5}{x+3}$; $(-\frac54,0)$ i $(0,\frac53)$.

d) $g=\frac{9x+9}{2x+1}$; $(-1,0)$ i $(0,9)$.

Upraszczamy wyrażenie, lecz zachowujemy wykluczenia pochodzące z pierwotnych mianowników.

a) $f=(x+3)/x^2$, $D=\mathbb R\setminus\{0,3\}$, $f(-2)=\frac14$.

b) $f=x(x^2-9)$, $D=\mathbb R$, $f(-2)=10$.

c) $f=(x+1)/2$, $D=\mathbb R\setminus\{-8\}$, $f(-2)=-\frac12$.

d) $f=(x+3)/(x+1)$, $D=\mathbb R\setminus\{-1,1\}$, $f(-2)=-1$.

e) $f=(x+5)/(x-1)$, $D=\mathbb R\setminus\{-5,1\}$, $f(-2)=-1$.

f) $f=(2x-1)/(x^2-3)$, $D=\mathbb R\setminus\{-\frac12,-\sqrt3,\sqrt3\}$, $f(-2)=-5$.

Także po skróceniu pamiętamy o zerach pierwotnego mianownika.

a) $f(x)=-(x-1)/(x^2+4)$, $D=\mathbb R\setminus\{-2,1,2\}$, a $f(-7)=\frac8{53}$.

b) $f(x)=x^2-4$, $D=\mathbb R\setminus\{-2\}$, więc $f(-7)=45$.

Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika; dziedzina pozostaje taka jak w wyrażeniu wyjściowym.

a) $\frac{7x+2}{(x+2)(x-1)}$; b) $\frac{4x^2+8x+2}{(x+1)(x+2)}$; c) $\frac{-3x^2-3x+1}{(x+1)^2}$; d) $\frac{2x+8}{x^2-1}$; e) $\frac{x^2+9}{x^2-9}$; f) $\frac{6x}{(3x-1)(3x-2)}$.