MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 228

Z wykresu odczytujemy punkt $P$ należący do hiperboli. Iloczyn jego współrzędnych wynosi $5$, więc $a=5$ i $f(x)=5/x$.

a) Sprawdzamy iloczyny współrzędnych: tylko dla punktu $B$ wynosi on $5$, dlatego $A,C$ nie należą do wykresu, a $B$ należy.

b) Rozwiązujemy $5/x<1$. Po przeniesieniu na jedną stronę $(5-x)/x<0$, co daje $x\in(-\infty,0)\cup(5,\infty)$.

a) Przesunięcie wykresu $2/x$ o wektor $[2,0]$ daje $g(x)=\frac2{x-2}.$ Stąd $D_g=\mathbb R\setminus\{2\}$ i $W_g=\mathbb R\setminus\{0\}$. Funkcja jest malejąca w każdym z przedziałów $(-\infty,2)$ oraz $(2,\infty)$.

b) Po przesunięciu wykresu $-1/x$ o $[1,-2]$: $g(x)=-\frac1{x-1}-2=\frac{-2x+1}{x-1}.$ Mamy $D_g=\mathbb R\setminus\{1\}$, $W_g=\mathbb R\setminus\{-2\}$; funkcja rośnie osobno na $(-\infty,1)$ i $(1,\infty)$.

W każdym podpunkcie podstawiamy przesunięcie do wzoru bazowego.

a) $g(x)=-\frac2{3x}-3$. Dla $x=-\frac83$ otrzymujemy $g(x)=-\frac{11}{4}$, więc punkt $A$ należy do wykresu.

b) $g(x)=-\frac2{3(x-1)}-6$. Dla $x=\frac23$ mamy $g(x)=-4$, zatem $A$ należy.

c) $g(x)=-\frac2{3(x+2)}+2$. Dla $x=\frac23$ dostajemy $g(x)=\frac74\ne-4$, więc $A$ nie należy.

Asymptoty odczytujemy z wykresu, a współczynnik liczymy z zaznaczonego punktu.

a) Asymptoty to $x=-1$ i $y=1$, więc $f(x)=a/(x+1)+1$. Podstawienie punktu wykresu daje $a=1$: $f(x)=\frac1{x+1}+1,\qquad D=\mathbb R\setminus\{-1\}.$ Z zaznaczeń odczytujemy $m=-\frac12$.

b) Asymptoty to $x=2$ i $y=-3$, a punkt wykresu daje $a=-2$: $f(x)=-\frac2{x-2}-3,\qquad D=\mathbb R\setminus\{2\}.$ Z zaznaczeń otrzymujemy $m=\frac53$.

Wyłączamy część stałą przez dzielenie licznika przez mianownik.

a) $f(x)=2-\frac2{x+5}$; asymptoty: $x=-5$, $y=2$.

b) $f(x)=3+\frac2{x-1}$; asymptoty: $x=1$, $y=3$.

c) $f(x)=\frac2{x+1}$; asymptoty: $x=-1$, $y=0$.