MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 226

Z algorytmu dzielenia

Równanie $w(x)=6-x$ ma więc postać

Lewa strona rozkłada się na $(x-1)(x-2)(x-4)$, zatem rozwiązaniami są $1,2,4$.

Podzielność przez $x-m$ jest równoważna $w(m)=0$. Mamy

Stąd $m=-3$, $m=0$ lub $m=2$.

Warunek $w(2)=0$ daje $5a-30=0$, więc $a=6$. Z kolei $w(1)=24$ prowadzi do $2a-3b-24=24$, skąd $b=-12$. Po podstawieniu

Po rozwinięciu $p q-2f$ współczynniki przy kolejnych potęgach wynoszą $-a+4b,\qquad ab-16,\qquad -2a+2b+12,$ a wyraz wolny redukuje się. Wielomian jest zerowy, gdy wszystkie trzy wyrażenia są zerami. Z $a=4b$ i $a=b+6$ otrzymujemy $b=2$, $a=8$; wtedy także $ab=16$.

Zapiszmy $w=A(x+2)(x-3)(x-t)$. Warunek $w(0)=-24$ daje $At=-4$. Ponieważ reszta z dzielenia przez $x+1$ wynosi $w(-1)=-8$, mamy $A(1+t)=-2$. Stąd $A=2$, $t=-2$ i

Kwadrat jest nieujemny, więc $w\ge0$ dla izolowanego zera $x=-2$ oraz dla $x\ge3$.

a) Pierwiastkiem ze wskazanego przedziału jest $\frac43$. Dzielenie daje $w=(3x-4)(x^2+3x+1).$ Pozostałe zera to $\frac{-3\pm\sqrt5}{2}$. Tabela znaków prowadzi do

b) Pierwiastkiem w podanym przedziale jest $-\frac45$, a $w=(5x+4)(x^2-x-1).$ Pozostałe zera to $\frac{1\pm\sqrt5}{2}$.

Niech $x_1=x_2=t$; wtedy $x_3=t-3$. Brak składnika $x^2$ oznacza, że suma pierwiastków jest zerem: $2t+(t-3)=0$, więc $t=1$, $x_3=-2$. Zatem $w=(x-1)^2(x+2)=x^3-3x+2,$ czyli $a=-3$, $b=2$. Nierówność jest równoważna

co daje $[-2,0]\cup[2,\infty)$.

a) Podpierwiastkowy wielomian rozkłada się na $(x-3)^2(x+1)$. Warunek nieujemności daje $x\ge-1$.

b) Wyrażenie pod pierwiastkiem w mianowniku musi być dodatnie: $18x^3-3x^2-4x+1=(3x-1)^2(2x+1)>0.$ Stąd $x>-\frac12$, ale trzeba wykluczyć także zero kwadratu $x=\frac13$.

Rozkładamy wielomian:

Czynnik $(x-p)^2$ pokazuje, że $p$ jest co najmniej dwukrotnym pierwiastkiem. Dla $p\ne0$ drugi czynnik w punkcie $x=p$ ma wartość $3p\ne0$, zatem krotność jest dokładnie równa dwa.

a) $w(x)+w(-x)=2bx^2+2d.$ Równość z zerem dla każdego $x$ zachodzi dokładnie wtedy, gdy $b=d=0$. Ponieważ wielomian ma być trzeciego stopnia, $a\ne0$; $c$ jest dowolne.

b) Warunek $w(x)=w(-x)$ daje $2ax^3+2cx=0$ dla każdego $x$. Musi więc być $a=c=0$, a taki wielomian ma stopień co najwyżej drugi. Nie może być wielomianem trzeciego stopnia.