MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 225

Z wykresów odczytujemy zera i ich krotności, po czym stałą wyznaczamy z zaznaczonego punktu.

a) Zera to $1,2,4$, wszystkie pojedyncze. Dla $w(x)=a(x-1)(x-2)(x-4)$ warunek $w(3)=-2$ daje $a=1$. Znak dodatni występuje na $(1,2)\cup(4,\infty)$.

b) Zero $-2$ jest pojedyncze, a $2$ podwójne. Z $w(x)=a(x+2)(x-2)^2$ i $w(0)=2$ wynika $8a=2$, więc $a=\frac14$. Wartości dodatnie są na $(-2,2)\cup(2,\infty)$.

c) Zero $0$ jest podwójne, a $3$ pojedyncze. Z $w(x)=ax^2(x-3)$ i $w(2)=4$ dostajemy $a=-1$. Wielomian jest dodatni na $(-\infty,0)\cup(0,3)$.

Pierwiastek dwukrotny $x_0$ spełnia równocześnie $F(x_0)=0$ i $F'(x_0)=0$.

a) Dla $F=x^3-2x^2+px-q$ mamy $F'(1)=p-1=0$, więc $p=1$. Wtedy $F(1)=-q=0$, czyli $q=0$.

b) Dla $F=x^3+px^2+qx-2$ warunki w $-1$ dają $p-q-3=0,\qquad 3-2p+q=0.$ Stąd $p=0$, $q=-3$. W obu przypadkach druga pochodna w $x_0$ jest niezerowa, więc krotność wynosi dokładnie dwa.

Rozwijamy $u$ i porównujemy wszystkie współczynniki z $w$.

a) $u=ax^3+(b-a)x^2+(-6-b)x+6$, więc $a=3$, $b=7$.

b) $u=ax^3+b(1-a)x^2-(a^2+b^2)x-ab$. Porównanie daje $a=3$, $b=-2$.

c) Współczynnik wiodący wymusza $a=1$, a współczynnik przy $x^2$ wtedy $b=2$. Otrzymany współczynnik przy $x$ wynosi jednak $-7$, nie $-13$; nie ma rozwiązania.

d) Współczynnik wiodący daje $a=3$, zaś współczynnik przy $x^2$ $b=5$, ale pozostałe współczynniki nie są zgodne. Nie ma rozwiązania.

Parabola przecina oś w $A=(-3,0)$ i $B=(3,0)$, więc $|AB|=6$. Z symetrii $D$ ma pierwszą współrzędną $-x_0$, zatem $|CD|=2x_0$, a wysokość trapezu wynosi $\frac12(9-x_0^2)$. Stąd

$$P(x_0)=\frac{6+2x_0}{2}\cdot\frac{9-x_0^2}{2} =\frac12(3+x_0)^2(3-x_0).$$

Wierzchołki $C,D$ mają leżeć powyżej osi i być różne, więc $0<x_0<3$. Równanie $P(x_0)=16$ upraszcza się do $(x_0-1)^2(x_0+5)=0$, zatem w dziedzinie $x_0=1$.

Wszystkie krawędzie są dodatnie dokładnie dla $x>1$.

a) $V=x(x+5)(5x-5)=5x^3+20x^2-25x,\qquad x>1.$

b) $V(5)=5\cdot10\cdot20=1000$.

c)

$$P_c=2[x(x+5)+x(5x-5)+(x+5)(5x-5)] =22x^2+40x-50,\qquad x>1.$$

Dodatniość wszystkich krawędzi wymaga $x>2$. Objętość wynosi

$$V(x)=2x(x-2)(x-1)=2x^3-6x^2+4x.$$

Warunek $V=12$ daje

$$2(x^3-3x^2+2x-6)=2(x-3)(x^2+2)=0.$$

Jedynym rzeczywistym rozwiązaniem należącym do dziedziny jest $x=3$.