MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 224

a) Po obliczeniu $4u-2w$ dostajemy

$$v=-4x^2yz-8xy^2z-8xyz^2+4xz^2+2xy^2.$$

Dla $x=-1,y=2,z=-\frac12$ kolejne składniki dają $4-16+4-1-8=-17$.

b) Składniki z $x^3y^2z$ redukują się i $v=-xy^2z^2-xyz^2+2xyz.$ Po podstawieniu otrzymujemy $1+\frac12+2=\frac72$.

Wyłączamy wspólne czynniki.

a) Równanie ma postać $(x-2)^2(x-4)=0$.

b) Otrzymujemy $(x+1)^3(x-3)=0$.

c) Otrzymujemy $(x+2)^2(2x-1)(2x+1)=0$.

d) Suma jest równa $(x-1)^2(x+2)^2(2x+1)$. Krotność pierwiastka jest wykładnikiem odpowiedniego czynnika.

Z równości $w=pq+r$ wynika $p=(w-r)/q$.

a) $x^3+2x^2-5x+2=(x-1)(x^2+3x-2),$ więc $p(x)=x-1$.

b) $2x^3-5x^2+x+2=(2x+1)(x^2-3x+2),$ zatem $p(x)=2x+1$.

Stosujemy twierdzenie o reszcie.

a) $w(2)=8+2m=14$, więc $m=3$.

b) $w(-1)=-4+|m-2|=6$. Stąd $|m-2|=10$, czyli $m=-8$ lub $m=12$.

c) $w(1)=m^3-3m=-2$, zatem $m^3-3m+2=(m-1)^2(m+2)=0.$ Otrzymujemy $m=1$ lub $m=-2$.

a) Z twierdzenia Bézouta $w(3)=0$: $27-9a+6a-3=24-3a=0,$ więc $a=8$.

b) Warunek $w(-1)=0$ daje $-a^2+4a+5=0,$ czyli $(a-5)(a+1)=0$. Stąd $a=-1$ lub $a=5$.