MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 223

Wykonujemy dzielenie pisemne lub schematem Hornera.

a) Iloraz to $2x^2-3x+1$, a reszta $-4$, zatem $w=(x+1)(2x^2-3x+1)-4.$

b) Iloraz to $x^2-x$, a reszta $3$: $w=(3x-2)(x^2-x)+3.$

c) Iloraz to $-x^4+2x^3-3$, a reszta $6$: $w=(x+5)(-x^4+2x^3-3)+6.$

Z twierdzenia o reszcie reszta z dzielenia przez $x-c$ jest równa $w(c)$.

a) $w(2)=16+8+4+2+1=31$.

b) $w(-2)=16-8+4-2+1=11$.

c) Dla $c=\sqrt2$ mamy $c^2=2$, $c^3=2\sqrt2$, $c^4=4$, więc $w(\sqrt2)=4+2\sqrt2+2+\sqrt2+1=7+3\sqrt2.$

Z twierdzenia Bézouta sprawdzamy wartość $w$ w miejscu zerowym dwumianu. Otrzymujemy

$$w(-1)=32,quad w(-2)=0,quad w(-3)=-48,$$ $$w(4)=162,quad w(-5)=0,quad w(6)=1320.$$

Wielomian jest podzielny dokładnie wtedy, gdy wartość jest równa zeru.

Każdy całkowity pierwiastek wielomianu monicznego o całkowitych współczynnikach musi dzielić wyraz wolny.

a) Dzielnikami $4$ spośród podanych liczb są $1$ i $2$; nie mogą być pierwiastkami $-3,0,5$.

b) Dzielnikami $6$ są $-3,1,2$; nie mogą nimi być $0,5$.

c) Dzielnikami $15$ są $-3,1,5$; nie mogą nimi być $0,2$.

Wyszukujemy pierwiastek wymierny, a potem dzielimy wielomian.

a) $(x-1)(3x^2+2x+1)=0$, więc jedynym pierwiastkiem rzeczywistym jest $1$.

b) $(x-1)(x-2)(x-3)=0$.

c) $(x-2)(2x-1)(x+3)=0$.

d) $(x+2)^2(2x^2-1)=0$.

e) $(x+2)(x^2+x-1)=0$.

f) $(x-2)(x+1)(x^2+1)=0$.

Po znalezieniu pierwiastka wymiernego dzielimy wielomian przez odpowiadający mu dwumian.

a) $w=(2x-1)(x+2)(x-3)$.

b) $w=(x-3)^2(2x+3)$.

c) $w=(x-2)(x+2)(x^2+x+5)$.

d) $w=(x-3)(x+5)(x^2+1)$.

Dla nieskracalnego pierwiastka $p/q$ musi zachodzić $p\mid a_0$ oraz $q\mid a_5$.

a) Dla $a_0=a_5=4$ warunku nie spełniają $-\frac34,\frac13,\frac23,\frac43$.

b) Dla $a_0=4,a_5=6$ nie może wystąpić $-\frac34$.

c) Dla $a_0=6,a_5=4$ nie mogą wystąpić $\frac13,\frac23,\frac43$.

d) Dla $a_0=a_5=6$ nie mogą wystąpić $-\frac34,\frac43$.

Rozkładamy wielomiany, korzystając z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych.

a) $(3x+1)(x^2-x+1)=0$, więc $x=-\frac13$.

b) $(2x-1)(x^2+x-1)=0$.

c) $(4x-1)(x^2+2x-1)=0$.

d) $(3x-1)(2x+1)^2=0$.