MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 222

a) Z $w(0)=-2$ dostajemy $b=-2$. Następnie $w(1)=1+a-2-2=3$, więc $a=6$.

b) Ponownie $w(0)=b=-2$. Warunek $w(1)=a+5-10-2=3$ daje $a=10$.

Dodajemy lub odejmujemy współczynniki przy tych samych potęgach.

a) $k(x)=3x^3-x^2+2x^2-1=3x^3+x^2-1,$ więc $\operatorname{st}(k)=3$.

b) $k(x)=3x^3-x^2-(2x^2-1)=3x^3-3x^2+1,$ zatem $\operatorname{st}(k)=3$.

c) $k(x)=2x^2-1+2(3x^3-x^2)=6x^3-1,$ więc $\operatorname{st}(k)=3$.

d) $k(x)=3x(2x^2-1)-2(3x^3-x^2)=2x^2-3x,$ stąd $\operatorname{st}(k)=2$.

Porównujemy współczynniki przy odpowiednich potęgach.

a) Z $b+2=8$ i $-a=1$ otrzymujemy $b=6$, $a=-1$.

b) $x(x+a)^2+b=x^3+2ax^2+a^2x+b.$ Stąd $2a=-6$, $a^2=9$ i $b=0$, czyli $a=-3$, $b=0$.

c) $x(ax-b)^2+b=a^2x^3-2abx^2+b^2x+b.$ Wyraz wolny daje $b=1$, a współczynnik przy $x^2$: $-2a=6$. Zatem $a=-3$, a pozostałe współczynniki także są zgodne.

Wyłączamy wspólną potęgę $x$, a następnie stosujemy wzory na różnicę kwadratów lub sześcianów.

a) $5x^5-20x^3=5x^3(x-2)(x+2)$.

b) $x^5-125x^2=x^2(x^3-125)=x^2(x-5)(x^2+5x+25)$.

c) $-5x^5+30x^4-45x^3=-5x^3(x-3)^2$.

d) $2x^5+8x^4-10x^3=2x^3(x^2+4x-5)=2x^3(x+5)(x-1)$.

Grupujemy wyrazy.

a) $(x-2)(x^2-1)=(x-2)(x-1)(x+1)$.

b) $(x+3)(x^2-4)=(x+3)(x-2)(x+2)$.

c) $x^2(3x-1)+2(3x-1)=(3x-1)(x^2+2)$.

d) $3x^3(x-5)-6x(x-5)=3x(x-5)(x^2-2)$.

e) $2x^3(x-4)+3x(x-4)=x(x-4)(2x^2+3)$.

f)

$$x^3(x^2-1)-(x^2-1)=(x^2-1)(x^3-1) =(x-1)^2(x+1)(x^2+x+1).$$

a) Różnica kwadratów daje $[(x+3)-(2x+1)][(x+3)+(2x+1)]=-(x-2)(3x+4).$

b) Ponieważ $2x-4=2(x-2)$ i $2-x=-(x-2)$, otrzymujemy $3(x-2)^2$.

c) $5(x-1)^4[(x-1)-4]=5(x-1)^4(x-5).$

d)

=4(x+1)^3(x+1-\sqrt2)(x+1+\sqrt2).$$

Przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę i rozkładamy.

a) $3x^3(x-2)(x+2)=0$.

b) $5x(x^2-2)(x^2+2)=0$.

c) $x^3(x-2)(x^2+2x+4)=0$.

d) $x^4(3x+2)(9x^2-6x+4)=0$.

e) $\frac12x^2(x-4)(x^2+4x+16)=0$.

f) $x^2(1-\sqrt2x^3)=0$, a $x^3=1/\sqrt2$ daje $x=\frac{\sqrt[6]{32}}2$.

g) $6x^2(x-1)^2=0$.

h) $x^5(x-3)(x+2)=0$.

i) $\frac19x^4(x+3)^2=0$.

Rozkłady lewych stron po przeniesieniu wyrazów są następujące:

a) $(x+2)(x-1)(x+1)=0$.

b) $(x+5)(x^2+3)=0$.

c) $(x-3)(x-2)(x+2)=0$.

d) $(2x-1)(x+2)(x^2-2x+4)=0$.

e) $(x-3)(x+1)(x^2-x+1)=0$.

f) $(x-2)(2x-1)(2x+1)=0$.

g) $(4x-1)(3x^2+2)=0$.

h) $(2x-1)(3x-1)(9x^2+3x+1)=0$.

Trójmiany o ujemnych wyróżnikach nie dają pierwiastków rzeczywistych.