MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 220

Dla $m=-1$ równanie jest liniowe, więc nie ma pierwiastka podwójnego. Dla $m\ne-1$ wymagamy $\Delta=0$:

$$\Delta=16m^2-4(m+1)(2m+3) =4(2m+1)(m-3).$$

Stąd $m=-\frac12$ lub $m=3$. Pierwiastek podwójny wynosi

$$x_0=\frac{2m}{m+1}.$$

Wyróżnik pierwszego równania jest równy

$$\Delta_1=4(1-m),$$

więc dla każdego $m\le1$ pierwsze równanie ma rozwiązanie. Wyróżnik drugiego równania ma postać

$$\Delta_2=(m+1)^2-4=(m-1)(m+3).$$

Dla każdego $m\ge1$ jest nieujemny, więc wtedy rozwiązanie ma drugie równanie. Przedziały $m\le1$ i $m\ge1$ pokrywają całą prostą rzeczywistą, co dowodzi tezy.

Jeżeli $x$ jest wspólnym miejscem zerowym, odejmujemy równania $f(x)=0$ i $g(x)=0$:

$$f(x)-g(x)=x^2-x-2=(x-2)(x+1)=0.$$

Zatem $x=2$ albo $x=-1$. Dla $x=2$ dowolne z równań daje $m=-1$; dla $x=-1$ daje $m=-4$.

Dla równania $x^2-7x+2=0$ wzory Viète’a dają

$$x_1+x_2=7,\qquad x_1x_2=2.$$

Nowe pierwiastki $4x_1,4x_2$ mają sumę $28$ i iloczyn $16x_1x_2=32$. Moniczne równanie o tych pierwiastkach ma postać $x^2-28x+32=0$.

Równanie ma dwa różne pierwiastki, gdy

$$\Delta=(m-1)^2+4m-4=(m-1)(m+3)>0,$$

czyli $m<-3$ lub $m>1$. Ich suma wynosi $1-m$. Warunek

$$1-m<2$$

daje $m>-1$. Przecięcie warunków to $m>1$.

Równanie ma dwa różne pierwiastki, gdy $m\ne0$ oraz

$$\Delta=4(1-m^2)>0,$$

czyli $-1<m<1$, $m\ne0$. Z wzorów Viète’a

$$x_1+x_2=\frac2m,\qquad x_1x_2=1,$$

więc

$$\frac1{x_1}+\frac1{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac2m.$$

Jest to nieujemne dokładnie dla $m>0$.

Wyróżnik równania wynosi $\Delta=m(m-16)$, więc dwa różne pierwiastki istnieją dla $m<0$ lub $m>16$. Ich suma i iloczyn to

$$S=\frac m2,\qquad P=m.$$

a) Dla $y_i=x_i-1$ oba $y_i$ mają być dodatnie. Ich suma i iloczyn:

$$y_1+y_2=\frac{m-4}{2},\qquad y_1y_2=\frac m2+1.$$

Po połączeniu z warunkiem na wyróżnik dostajemy $m>16$.

b) Dla $z_i=2-x_i$ wymagamy dodatniości obu liczb. Mamy

$$z_1+z_2=4-\frac m2,\qquad z_1z_2=4.$$

Łącznie z $\Delta>0$ daje to $m<0$.

Dla równania $6x^2+bx+1=0$ mamy

$$x_1+x_2=-\frac b6,\qquad |x_2-x_1|=\frac{\sqrt{b^2-24}}6.$$

a) Warunek sumy daje $-\frac b6=4$, więc $b=-24$; wyróżnik jest dodatni.

b) Warunek różnicy daje $\sqrt{b^2-24}=1$, czyli $b^2=25$.

Ze wzorów Viète’a $S=-m$, $P=m$. Dla niezerowych pierwiastków wyrażenie upraszcza się do

$$\left(\frac1{x_1}+x_2\right) \left(\frac1{x_2}+x_1\right) =\frac1P+2+P =\frac1m+2+m.$$

Równanie $m+\frac1m+2=\frac92$ daje $m=2$ lub $m=\frac12$. Tymczasem równanie wyjściowe ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste tylko wtedy, gdy

$$\Delta=m(m-4)>0,$$

czyli dla $m<0$ lub $m>4$. Żaden kandydat tego nie spełnia.