MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 219

Parabola przystająca i tak samo skierowana jak $y=x^2$, o wierzchołku $(p,q)$, ma wzór $(x-p)^2+q$. Przyrównujemy kolejno do zera:

$$\begin{aligned} \text{a) }&(x-m^4)^2=0,\\ \text{b) }&x^2-25m^2=0,\\ \text{c) }&(x+2m)^2-4m^2=0,\\ \text{d) }&(x-m)^2-4m^2=0. \end{aligned}$$

Podstawiamy argumenty do $f(x)=(x-2p)^2+p$:

$$\begin{aligned} \text{a) }g(x)&=f(x+p)-p=(x-p)^2,\\ \text{b) }g(x)&=f(p-x)=(x+p)^2+p,\\ \text{c) }g(x)&=p-f(x)=-(x-2p)^2,\\ \text{d) }g(x)&=p-f(2p-x)=-x^2. \end{aligned}$$

Z postaci kanonicznych odczytujemy osie i zbiory wartości.

Liczbę przecięć wyznaczamy osobno na każdej gałęzi wykresu.

a) Równanie ma postać $2|(x-1)^2-4|=a$. Poziomy krytyczne to $a=0$ i $a=8$.

b) Dla $-|x^2-4|+2=a$ poziomy krytyczne to maksimum $2$ i wartość $-2$, przy której wewnętrzne dwa przecięcia zlewają się w jedno.

c) Dla $x\le2$ rozwiązujemy $2(x-1)^2=a$, a dla $x>2$ — $-x+4=a$, pilnując warunków na $x$.

d) Dla $x<0$ parabola ma minimum $-2$, a dla $x\ge0$ druga parabola ma maksimum $5$. Sumujemy liczby przecięć obu części, nie licząc dwa razy punktu granicznego.

Rozbijamy równania z wartością bezwzględną na odpowiednie przypadki.

a) $3x^2-4x+2$ jest dodatnie, więc rozwiązujemy $3x^2-4x+2=1$; drugi znak nie daje rozwiązań.

b) Rozwiązujemy $x^2+x-10=10$ oraz $x^2+x-10=-10$.

c) Rozwiązujemy $x^2-6x+7=\pm2$.

d) Po podstawieniu $t=x-1$ dostajemy $t^2+|t|-2=0$, więc $|t|=1$.

e) Dla $u=|x|$ równanie ma postać $u+|1-u^2|=1$; analiza $u\le1$ i $u\ge1$ daje $u=0$ lub $u=1$.

f) Dla $t=x^2+4x$ równość $|t-5|+|t|=5$ zachodzi dokładnie dla $0\le t\le5$.

Przyrównujemy prawe strony równań.

a) $2x^2+10x+12=0$, więc $x=-2,-3$. Odpowiednie rzędne to $0,-3$.

b) Składniki $x^2$ redukują się i $-6x+11=-1$, zatem $x=2,y=3$.

c) Po podstawieniu $y=(x-2)^2-1$ do drugiego równania otrzymujemy $2x^2-10x+8=0$, więc $x=1,4$, a następnie $y=0,3$.

a) Liczby $x,y$ mają sumę $1$ i iloczyn $-6$, więc są pierwiastkami $t^2-t-6=0$: $3,-2$.

b) Z $x=y+1$ mamy $(y+1)^2+y^2=13$, czyli $y^2+y-6=0$. Stąd $y=2,-3$.

c) Z $y=4/x$ i $x\ne0$ otrzymujemy

$$9x^4-25x^2+16=0.$$

Dla $t=x^2$ mamy $t=1$ lub $t=\frac{16}{9}$, po czym wyznaczamy $y$.

Radikand musi być nieujemny dla każdego $x$. Dla funkcji kwadratowej wymaga to $m>0$ i $\Delta\le0$. Przypadek $m=0$ daje funkcję liniową $2x+2$, więc odpada.

$$\Delta=(m+2)^2-4m(m+2)=(m+2)(2-3m)\le0.$$

Po przecięciu z warunkiem $m>0$ otrzymujemy $m\ge\frac23$.

Przedział $[-7,\infty)$ wymaga $m+1>0$ oraz minimum równego $-7$. Minimum funkcji wynosi

$$q=m-\frac{16}{m+1}.$$

Równanie $q=-7$ daje

$$(m+7)(m+1)-16=0 \iff m^2+8m-9=0,$$

czyli $m=1$ lub $m=-9$. Warunek $m>-1$ pozostawia tylko $m=1$.