MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 218

Liczba przekątnych $n$-kąta wynosi $\frac{n(n-3)}2$. Rozwiązujemy kolejno

$$n(n-3)=180,\qquad n(n-3)=270,\qquad n(n-3)=378.$$

Dodatnie całkowite rozwiązania odpowiednich równań kwadratowych to $15,18,21$.

Niech wolniejszy kolarz jedzie z prędkością $v$ km/h, a szybszy — $v+1$ km/h. Różnica czasów wynosi $12$ min $=\frac15$ h:

$$\frac{120}{v}-\frac{120}{v+1}=\frac15.$$

Stąd $v(v+1)=600$, czyli $(v-24)(v+25)=0$. Dodatnie rozwiązanie to $v=24$.

Średnia prędkość na przedziale czasu jest równa

$$v_{\mathrm{śr}}=\frac{x(t_2)-x(t_1)}{t_2-t_1}.$$

Mamy $x(0)=0$, $x(1)=5$, $x(2)=18$ metrów. Podstawiamy te wartości do wzoru.

a) Dojazd następuje, gdy $s(t)=54$:

$$36t-6t^2=54\iff(t-3)^2=0,$$

więc jazda trwała $3$ h.

b) $s(0)=0$, $s(1)=30$, $s(2)=48$, $s(3)=54$. W pierwszej godzinie rowerzysta przejechał $30$ km, w drugiej $18$ km, a na całej trasie średnia prędkość wyniosła $54/3=18$ km/h.

a) Fizyczna dziedzina zaczyna się w $t=0$ i kończy przy zetknięciu z ziemią. Równanie $h(t)=0$ ma dodatni pierwiastek $5+\sqrt{26}$.

b) Bezpośrednio ze wzoru: $h(3)=110$, $h(4)=125$, $h(5)=130$.

c) $h(t)=5$ daje $5t(10-t)=0$; po starcie strzała wraca na tę wysokość dla $t=10$.

d) Wierzchołek paraboli przypada dla $t=5$.

e) $h(5)=130$.