MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 217

Dwa różne dodatnie pierwiastki wymagają $\Delta>0$, $S>0$ i $P>0$.

a) Mamy

$$S=3-2a,\quad P=2a+5,\quad \Delta=4a^2-20a-11=4\left(a+\frac12\right)\left(a-\frac{11}{2}\right).$$

Przecięcie trzech warunków daje $-\frac52<a<-\frac12$.

b) Dla $a\ne0$ suma i iloczyn są równe $\frac{a+2}{a}$. Muszą być dodatnie, a ponadto

$\Delta=(a+2)(2-3a)>0.$

Łącznie otrzymujemy $0<a<\frac23$.

Dwa różne ujemne pierwiastki wymagają $\Delta>0$, $S<0$ i $P>0$.

a) $S=-(a+2)$, $P=a-1$, a $\Delta=a^2+8>0$ zawsze. Warunki znaków dają $a>1$.

b) Dla $a\ne0$ mamy $S=\frac4a$ i $P=\frac{a+3}{a}$. Ich warunki znakowe dają $a<-3$, a

$$\Delta=16-4a(a+3)>0 \iff -4<a<1.$$

Stąd $-4<a<-3$.

Niech liczby będą równe $x,y$ i $x+y=3$.

a) Z $x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=65$ mamy $xy=-28$. Liczby są więc pierwiastkami równania $t^2-3t-28=0$, czyli $7$ i $-4$.

b) Z $(x-y)(x+y)=33$ dostajemy $x-y=11$. Układ $x+y=3$, $x-y=11$ daje $x=7,y=-4$ (przy odwrotnej kolejności różnica kwadratów ma znak przeciwny).

Zewnętrzny prostokąt ma wymiary $(9+2x)$ m i $(4+2x)$ m. Pole pasa jest równe

$$(9+2x)(4+2x)-9\cdot4=68.$$

Po uproszczeniu

$$2x^2+13x-34=0,$$

skąd $x=2$ lub $x=-\frac{17}{2}$. Ujemną szerokość odrzucamy.

Niech $a$ będzie cyfrą dziesiątek, a $b$ cyfrą jedności. Wtedy

$$a+b=7,\qquad(10a+b)(10b+a)=1300.$$

Po podstawieniu $b=7-a$:

$$(9a+7)(70-9a)=1300,$$

co daje $a=2$ lub $a=5$. Odpowiednie cyfry jedności to $5$ i $2$.

Eliminujemy $y$ i sprowadzamy sumę kwadratów do postaci kanonicznej.

a) Dla $y=3-x$:

$x^2+y^2=2\left(x-\frac32\right)^2+\frac92.$

b) Dla $y=x-6$:

$x^2+y^2=2(x-3)^2+18.$

c) Dla $y=2x$ mamy $x^2+y^2=5x^2$.

Niech $L$ cm przeznaczymy na kwadrat. Jego pole wynosi $\frac{L^2}{16}$. Na prostokąt pozostaje $68-L$ cm. Jeśli jego boki to $3t,t$, to $8t=68-L$, więc jego pole jest równe $\frac{3(68-L)^2}{64}$.

Suma pól:

$$P(L)=\frac{L^2}{16}+\frac{3(68-L)^2}{64}.$$

Wierzchołek tej paraboli spełnia

$$\frac L8-\frac{3(68-L)}{32}=0,$$

stąd $L=\frac{204}{7}$, a $68-L=\frac{272}{7}$.

a) Przeciwprostokątna łączy punkty $(0,8)$ i $(4,0)$, więc ma równanie $y=8-2x$. Prostokąt ma szerokość $x$ i wysokość $8-2x$:

$$P(x)=x(8-2x)=-2x^2+8x,\qquad x\in(0,4).$$

Wierzchołek paraboli przypada dla $x=2$. Wtedy wysokość wynosi $4$.

b) Trójkąt jest prostokątny równoramienny o przeciwprostokątnej $12$, więc jego wysokość ma długość $6$. Na wysokości $h$ szerokość przekroju wynosi $12-2h$. Ponieważ górny bok prostokąta ma długość $2x$, mamy $h=6-x$. Zatem

$$P(x)=2x(6-x)=-2x^2+12x,\qquad x\in(0,6).$$

Maksimum jest dla $x=3$; wymiary to $6$ na $3$.

Niech boki prostokąta, czyli promień i wysokość walca, mają długości $r,h>0$. Z obwodu $2(r+h)=24$ wynika $r+h=12$. Pole boczne walca jest równe

$$P_b=2\pi rh=2\pi r(12-r).$$

Parabola osiąga maksimum dla $r=6$, wtedy także $h=6$.