MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 216

a) Wyróżnik wynosi $\Delta=4(1-m)$. Zatem są dwa zera dla $m<1$, jedno dla $m=1$ i brak zer dla $m>1$.

b) Najpierw wydzielamy przypadek $m=1$. Wtedy znika składnik kwadratowy i

$$f(x)=2x+1,$$

więc funkcja ma dokładnie jedno zero. Dla $m\ne1$ jest to funkcja kwadratowa, a jej wyróżnik ma postać

$$\Delta=(2m)^2-4(m-1)(3m-2) =-4(2m-1)(m-2).$$

Jest dodatni dla $\frac12<m<2$, równy zero dla $m\in\{\frac12,2\}$ i ujemny poza $[\frac12,2]$. Punkt $m=1$ trzeba jednak wyjąć z przypadku dwóch zer, ponieważ funkcja jest wtedy liniowa.

a) $\Delta=a^2-144$. Stąd dwa rozwiązania są dla $|a|>12$, jedno dla $|a|=12$, a brak rozwiązań dla $|a|<12$.

b) Dla $a=-1$ równanie staje się liniowe: $x+1=0$, więc ma jedno rozwiązanie. Dla $a\ne-1$ jest kwadratowe i ma wyróżnik $\Delta=a^2$. Zatem dla $a=0$ ma pierwiastek podwójny, a dla pozostałych $a\ne-1,0$ — dwa różne pierwiastki.

Niezdegenerowana funkcja kwadratowa jest nieujemna na $\mathbb R$, gdy jej współczynnik wiodący jest dodatni i $\Delta\le0$.

a) $a+3>0$ oraz

$\Delta=16-8(a+3)=-8(a+1)\le0,$

co łącznie daje $a\ge-1$.

b) $1-a>0$ oraz

$\Delta=16+8a(1-a)=-8(a-2)(a+1)\le0,$

co daje $a\le-1$. Przypadki zerowego współczynnika wiodącego prowadzą do funkcji liniowych i nie spełniają warunku.

Funkcja kwadratowa przyjmuje wyłącznie wartości ujemne, gdy współczynnik wiodący jest ujemny i $\Delta<0$.

a) Z $m+1<0$ oraz $1-4(m+1)^2<0$ otrzymujemy $m<-\frac32$.

b) Dla $-1<m<1$ współczynnik wiodący jest ujemny, a

$$\Delta=(m-1)(m^2+2m-1).$$

W tym przedziale warunek $\Delta<0$ daje $m>\sqrt2-1$. Dodatkowo dla $m=1$ funkcja degeneruje się do stałej $-\frac14$, również zawsze ujemnej. Dla $m=-1$ otrzymujemy funkcję liniową.

Stosujemy warunki na znak całego trójmianu, osobno kontrolując przypadki zaniku składnika kwadratowego.

a) Dla trójmianu skierowanego w dół wymagamy $m<0$ i $\Delta=m(m+4)<0$, co daje $-4<m<0$. Dla $m=0$ pozostaje stała $-1<0$.

b) Wymagamy $1-m<0$ oraz $\Delta=(m-2)^2\le0$, więc $m=2$.

c) Dla $m>1$ mamy współczynnik wiodący dodatni i $\Delta=2(1-m)<0$. Dla $m=1$ pozostaje dodatnia stała $\frac14$.

d) Dla współczynnika wiodącego $m<0$ wyróżnik $5m^2-14m+9$ jest dodatni, a dla $m=0$ pozostaje funkcja liniowa. Nie ma zatem odpowiedniej wartości parametru.

Korzystamy ze wzorów Viète’a: $S=-\frac ba$, $P=\frac ca$.

a) $S=-\frac{12}{3}=-4$, $P=-\frac{18}{3}=-6$.

b) Po przeniesieniu prawej strony mamy

$$(\sqrt3+1)x^2+6x+(\sqrt3-1)=0.$$

Stąd

$$S=-\frac6{\sqrt3+1}=-3(\sqrt3-1),\qquad P=\frac{\sqrt3-1}{\sqrt3+1}=2-\sqrt3.$$

W każdym podpunkcie wyróżnik jest dodatni. Znaki ustalamy z sumy i iloczynu pierwiastków.

a) $P=-10<0$, więc pierwiastki mają różne znaki.

b) $P=\frac37>0$ i $S=2>0$, więc oba są dodatnie.

c) $P=1>0$ i $S=-\frac{5\sqrt2}{2}<0$, więc oba są ujemne.

d) $P=-\frac{\sqrt3}{3}<0$, więc pierwiastki mają różne znaki.

Ze wzorów Viète’a

$S=x_1+x_2=\frac13,\qquad P=x_1x_2=-\frac54.$

Następnie:

$$x_1^2+x_2^2=S^2-2P=\frac{47}{18},$$ $$(x_1-x_2)^2=S^2-4P=\frac{46}{9}.$$

Pozostałe wyrażenia redukujemy do $S$ i $P$, np. $(x_1+2x_2)(x_2+2x_1)=2(S^2-2P)+5P$.

Dwa pierwiastki mają różne znaki wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn jest ujemny; wtedy automatycznie są rzeczywiste i różne.

a) $x_1x_2=a+2<0$, więc $a<-2$.

b) Równanie musi być kwadratowe, a

$$x_1x_2=\frac{a+3}{a}<0.$$

Licznik i mianownik mają przeciwne znaki dokładnie dla $-3<a<0$.