MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 215

Miejsca zerowe $-1$ i $7$ są symetryczne względem osi $x=3$. Wartość w wierzchołku wynosi

$$f(3)=a(3-7)(3+1)=-16a.$$

Ponieważ jest to minimum równe $-4$, mamy $-16a=-4$, czyli $a=\frac14$. Wierzchołek ma współrzędne $(3,-4)$.

Z wierzchołka $W(1,2)$ wynika $f(x)=a(x-1)^2+2$.

a) Warunek $f(0)=0$ daje $a+2=0$, więc $a=-2$.

b) Warunek $f(3)=4$ daje $4a+2=4$, więc $a=\frac12$.

a) Z $f(-2)=1$ mamy $4-10+c=1$, więc $c=7$.

b) Dokładnie jedno miejsce zerowe oznacza $\Delta=25-4c=0$, zatem $c=\frac{25}{4}$.

c) Minimum trójmianu jest równe $c-\frac{25}{4}$. Równanie

$c-\frac{25}{4}=-\frac54$

daje $c=5$.

a) Dla pierwiastków $2,-5$ moniczny trójmian ma postać $(x-2)(x+5)=x^2+3x-10$.

b) Wierzchołek $(-1,7)$ daje $(x+1)^2+7=x^2+2x+8$.

c) Trójmian moniczny jest ujemny dokładnie między pierwiastkami $-1,4$, więc $(x+1)(x-4)=x^2-3x-4$.

d) Oś $x=3$ daje $-\frac b2=3$, czyli $b=-6$. Punkt przecięcia z osią $OY$ ma rzędną $c=5$.

Dwa różne miejsca zerowe istnieją wtedy i tylko wtedy, gdy $\Delta>0$.

$$\begin{aligned} \text{a) }&\Delta=16-8c>0,\\ \text{b) }&\Delta=25+4c>0,\\ \text{c) }&\Delta=36+c>0,\\ \text{d) }&\Delta=1+4c>0. \end{aligned}$$

Dokładnie jedno miejsce zerowe trójmianu kwadratowego oznacza $\Delta=0$.

a) $b^2-12=0$, więc $b=\pm2\sqrt3$.

b) $b^2+16=0$ nie ma rozwiązania rzeczywistego.

c) $2x^2+bx=x(2x+b)$. Dwa zapisane zera pokrywają się tylko dla $b=0$; równoważnie $\Delta=b^2=0$.

W podpunktach a-d podstawiamy $t=x^2\ge0$.

$$\begin{aligned} \text{a) }&(t+9)(t-4)=0,\\ \text{b) }&(t-9)(t+1)=0,\\ \text{c) }&(t+5)(t-3)=0,\\ \text{d) }&(2t-1)(t+4)=0. \end{aligned}$$

Ujemne wartości $t$ odrzucamy. W e), f) kładziemy $u=|x|\ge0$: $u(u-9)=0$ oraz $(u-3)(u-6)=0$.

Podstawiamy do równania paraboli wzór prostej.

a) $y=-x-7$, więc $x^2+5x+4=0$ i $x=-1,-4$.

b) $y=4-x$, więc $x^2-5x+4=0$ i $x=1,4$.

c) $y=x-5$, więc $x^2-10x+24=0$ i $x=4,6$.

Rzędne wyliczamy z odpowiedniego równania liniowego.