MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 211

Punkt przecięcia wykresów spełnia

$-2x+|m|-7=6x-3,$

więc

$x=\frac{|m|-4}{8},\qquad y=6x-3=\frac34|m|-6.$

Trzecia ćwiartka wymaga $x<0$ i $y<0$. Pierwszy warunek daje $|m|<4$, a drugi $|m|<8$, więc decyduje $|m|<4$. Dla całkowitego $m$:

$$$$

Upraszczamy nawiasy i ułamki, a następnie rozwiązujemy powstałe układy liniowe.

a) Układ przyjmuje postać

\end{cases}$$ skąd $(x,y)=(-7,4)$. **b)** Otrzymujemy $$\begin{cases}-4x-11y=3,\\5x+4y=6, \end{cases}$$ zatem $(x,y)=(2,-1)$. **c)** Po pomnożeniu równań odpowiednio przez $4$ i $6$: $$\begin{cases}-7x+5y=1,\\8x-5y=1, \end{cases}$$ więc $(x,y)=(2,3)$. **d)** Po usunięciu mianowników: $$\begin{cases}9x-y=2,\\5x-y=20. \end{cases}$$ Odejmowanie daje $4x=-18$, a następnie $$(x,y)=\left(-\frac92,-\frac{85}{2}\right).$$

W każdym podpunkcie wyznaczamy $x(m),y(m)$ i nakładamy warunki $x>0$, $y>0$.

a)

$x=\frac{4m+3}{7},\qquad y=\frac{1-m}{7}.$

Obie liczby są dodatnie dla $-\frac34<m<1$.

b) Dla $m\ne-3$:

$x=\frac{2(m+6)}{m+3},\qquad y=-\frac2{m+3}.$

Warunki znaków dają $m<-6$. Dla $m=-3$ układ jest sprzeczny.

c)

$x=\frac{3m+5}{m^2+1},\qquad y=\frac{3-5m}{m^2+1}.$

Mianownik jest dodatni, więc $-\frac53<m<\frac35$.

d) Dla $m\ne\pm2$:

$x=\frac{2(3m-1)}{m^2-4},\qquad y=\frac{m-12}{m^2-4}.$

Tabela znaków daje

$m\in\left(-2,\frac13\right)\cup(12,\infty).$

Dla $m=\pm2$ układ jest sprzeczny, więc nie dochodzą dodatkowe wartości.

Para ma różne znaki dokładnie wtedy, gdy $xy<0$.

a) Rozwiązaniem układu jest

$x=\frac{3m-1}{5},\qquad y=\frac{7-m}{5}.$

Warunek

$(3m-1)(7-m)<0$

daje

$m\in\left(-\infty,\frac13\right)\cup(7,\infty).$

b) Otrzymujemy

$x=\frac{3(m+2)}7,qquad y=\frac{11-5m}{14}.$

Z nierówności $(m+2)(11-5m)<0$ wynika

$m\in(-\infty,-2)\cup\left(\frac{11}{5},\infty\right).$

Punkt przecięcia danych prostych spełnia

$y=x+m-1,qquad2x+y=4m+1.$

Stąd

$P(m)=\left(m+\frac23,\ 2m-\frac13\right).$

Wnętrze trójkąta ograniczonego prostymi ma opis

$y<5,qquad2x+y>1,qquad x-y<1.$

Po podstawieniu współrzędnych punktu $P(m)$ otrzymujemy odpowiednio

$m<\frac83,qquad m>0,qquad m>0.$

Ponieważ chodzi o wnętrze, nierówności są ostre. Zatem

$m\in\left(0,\frac83\right).$

Po zrównaniu prawych stron prostych otrzymujemy punkt przecięcia

$P(m)=(2-2m,\ 4-m).$

a) Warunek przynależności do obszaru ma postać

$|2-2m|+|4-m|\le4.$

Po rozpatrzeniu przedziałów wyznaczonych przez $m=1$ i $m=4$ otrzymujemy

$m\in\left[\frac23,2\right].$

b) Eliminujemy parametr z $x=2-2m$, czyli $m=1-\frac x2$. Wtedy

$y=4-m=3+\frac x2.$

Gdy $m$ przebiega wszystkie liczby rzeczywiste, $x$ także przebiega $\mathbb R$. Zbiorem punktów przecięcia jest więc cała prosta

$y=\frac12x+3.$

Każdą nierówność zapisujemy jako ograniczenie na rzędną i zaznaczamy właściwą stronę prostej lub łamanej.

a)

$-3x+1\le y<\frac{x-12}{2}.$

Obszar jest niepusty dla $x>2$; leży między prostymi na prawo od ich punktu przecięcia $(2,-5)$. Dolna krawędź jest domknięta, górna otwarta.

b)

$\frac x2-1\le y\le3-\frac x2.$

Jest to domknięty klin dla $x\le4$, z wierzchołkiem $(4,1)$.

c)

$|x|-1\le y\le\frac x2+2.$

Warunki są zgodne dla $x\in[-2,6]$. Otrzymujemy domknięty trójkąt o wierzchołkach $(-2,1)$, $(0,-1)$ i $(6,5)$.

d)

$|x|-2<y<2-|x-2|.$

Warunki są zgodne dla $-1<x<3$. Jest to otwarte wnętrze czworokąta o wierzchołkach $(-1,-1)$, $(0,-2)$, $(3,1)$, $(2,2)$; żadna krawędź nie należy do zbioru.

e) Po zmianie zmiennych $u=x+y$, $v=x-y$ mamy $|u|\le4$, $|v|\le4$. W układzie $(x,y)$ jest to domknięty romb o wierzchołkach

$(-4,0),\ (0,-4),\ (4,0),\ (0,4).$

f) Warunki są równoważne

$-3\le x\le3,qquad-|x|\le y\le|x|.$

Jest to suma dwóch domkniętych trójkątów o wspólnym wierzchołku $(0,0)$ i pozostałych wierzchołkach $(-3,-3),(-3,3)$ oraz $(3,-3),(3,3)$.