MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 210

Czwarty wierzchołek równoległoboku spełnia $D=A+C-B$, a przekątne zawierają się w prostych $AC$ i $BD$.

a) $D=(-3,6)$. Prosta $AC$ ma współczynnik $\frac75$, a prosta $BD$ współczynnik $-1$:

$AC:\ y=\frac75x+\frac95,$

$BD:\ y=-x+3.$

Przekątne przecinają się w swoim wspólnym środku

$S=\left(\frac{-2+3}{2},\frac{-1+6}{2}\right)=\left(\frac12,\frac52\right).$

b) $D=(-2,5)$. Otrzymujemy

$AC:\ y=\frac32x,$

$BD:\ y=-\frac12x+4,$

oraz punkt przecięcia

$S=\left(\frac{0+4}{2},\frac{0+6}{2}\right)=(2,3).$

Symetria względem początku układu przekształca wykres $f$ w wykres funkcji

$g(x)=-f(-x)=-\left(-\frac12x+1\right)=\frac12x-1.$

Rozwiązujemy obie nierówności:

$f(x)\le3\iff\frac12x+1\le3\iff x\le4,$

$g(x)\ge-2\iff\frac12x-1\ge-2\iff x\ge-2.$

Jednocześnie zachodzą dla $x\in[-2,4]$.

a) Współczynniki kierunkowe $\frac32$ i $-\frac76$ są różne, więc wykresy przecinają się w jednym punkcie. Z równania

$\frac32x-7=-\frac76x+9$

otrzymujemy $x=6$ i $y=2$. Ponadto

$f(x)-g(x)=\frac83x-16\ge0\iff x\ge6.$

b) Upraszczamy wzory:

$f(x)=\frac{x+17}{12},\qquad g(x)=-\frac{x}{18}.$

Wykresy mają różne nachylenia i przecinają się dla

$\frac{x+17}{12}=-\frac{x}{18},$

czyli w punkcie $\left(-\frac{51}{5},\frac{17}{30}\right)$. Nierówność

$f(x)\ge g(x)\iff5x+51\ge0$

daje $x\ge-\frac{51}{5}$.

Miejsce zerowe funkcji $f$ jest równe $\frac a4$, a funkcji $g$ — $\frac1a$ (dla $a\ne0$). Warunek wspólnego zera daje

$\frac a4=\frac1a\iff a^2=4,$

więc $a=2$ lub $a=-2$. Funkcja $g(x)=ax-1$ ma być malejąca, czyli $a<0$. Pozostaje

$a=-2.$

Miejsca zerowe wynoszą $-\frac b3$ dla $f$ oraz $\frac1a$ dla $g$; wspólne zero wymaga $a\ne0$ i

$-\frac b3=\frac1a\iff ab=-3.$

Całkowite pary współczynników są więc równe

$(a,b)\in\{(1,-3),(-1,3),(3,-1),(-3,1)\}.$

Niech $f(x)=ax+b$. Wtedy

$f(x+2)+f(x-2)=a(x+2)+b+a(x-2)+b=2ax+2b.$

Porównanie z $6x-8$ daje $2a=6$ i $2b=-8$, czyli $a=3$, $b=-4$.

Mamy $f(x)=2|x+2|-6$.

a)

$f(x)-f(x+2)=4\iff |x+2|-|x+4|=2.$

Dla $x\le-4$ lewa strona jest stale równa $2$. Na przedziale $[-4,-2]$ równanie daje tylko $x=-4$, a dla $x\ge-2$ lewa strona wynosi $-2$. Zatem

$x\in(-\infty,-4].$

b)

$f(x-1)+f(x+1)=0$

$\iff |x+1|+|x+3|=6.$

Poza przedziałem $[-3,-1]$ otrzymujemy odpowiednio $x=-5$ oraz $x=1$; wewnątrz suma odległości wynosi $2$.

Równanie zapisujemy jako

$(4m^2-1)x=2m+1.$

Ma dokładnie jedno rozwiązanie, gdy $m\ne\pm\frac12$. Wtedy, po skróceniu dozwolonego czynnika $2m+1$,

$x=\frac{2m+1}{(2m-1)(2m+1)}=\frac1{2m-1}.$

Warunek $|x|>x$ jest równoważny $x<0$, zatem $m<\frac12$. Trzeba jeszcze wykluczyć $m=-\frac12$, dla którego równanie jest tożsamościowe. Ostatecznie

$m\in\left(-\infty,-\frac12\right)\cup\left(-\frac12,\frac12\right).$

Prosta przez $A(0,3)$ i $B(-2,1)$ ma współczynnik kierunkowy $1$, więc

$f(x)=x+3.$

a)

$|f(3x)|<6\iff|3x+3|<6\iff|x+1|<2,$

stąd $x\in(-3,1)$.

b)

$f(|x|)\ge x+2\iff |x|+3\ge x+2.$

Ponieważ $|x|-x+1>0$ dla każdego $x$, rozwiązaniem jest $\mathbb R$.

c)

$|2x+1|+3\le13-3x\iff|2x+1|\le10-3x.$

Dla $x\ge-\frac12$ otrzymujemy $x\le\frac95$, a dla $x<-\frac12$ nierówność zachodzi zawsze. Łącznie

$x\in\left(-\infty,\frac95\right].$

a) Współrzędne punktów przecięcia z osią $OY$ to odpowiednio $|2-m|$ i $|m+1|$. Warunek

$|2-m|=|m+1|$

daje $m=\frac12$.

b) Miejsca zerowe funkcji to

$x_f=-|2-m|,qquad x_g=-\frac{|m+1|}{2}.$

Są wspólne, gdy

$2|2-m|=|m+1|.$

Po rozpatrzeniu obu znaków otrzymujemy $m=1$ lub $m=5$.