MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 213

Przesunięcie nie zmienia współczynnika $\frac12$ ani kierunku ramion. Ze skanu odczytujemy wierzchołki: a) $(2,0)$, b) $(0,-4)$, c) $(-2,3)$. Z postaci kanonicznej otrzymujemy odpowiednio

$$\text{a) }y=\frac12(x-2)^2,\qquad \text{b) }y=\frac12x^2-4,\qquad \text{c) }y=\frac12(x+2)^2+3.$$

Uzupełniamy kwadraty:

$$\begin{aligned} \text{a) }&f(x)=(x+4)^2,\\ \text{b) }&f(x)=(x-2)^2-4,\\ \text{c) }&f(x)=-(x+3)^2+4,\\ \text{d) }&f(x)=-2(x-1)^2. \end{aligned}$$

Współczynnik przy kwadracie jest dodatni w a), b), a ujemny w c), d), więc zbiory wartości wyznaczają rzędne wierzchołków.

Dla wierzchołka $W(p,q)$ i współczynnika przy $x^2$ równego $1$ mamy

$$f(x)=(x-p)^2+q=x^2-2px+p^2+q.$$

Zatem $b=-2p$, $c=p^2+q$, a zbiorem wartości jest $[q;\infty)$. Po podstawieniu kolejnych punktów dostajemy wyniki podane poniżej.

Współrzędna $x$ wierzchołka paraboli wynosi $p=-\frac b{2a}$.

a) $p=-2\sqrt2$, a ramiona są skierowane w górę. Funkcja maleje do wierzchołka i potem rośnie.

b) $p=10$, a ramiona są skierowane w dół. Funkcja rośnie do wierzchołka i potem maleje.

Minimum funkcji $x^2+bx+1$ jest równe

$$q=1-\frac{b^2}{4}.$$

Przyrównujemy je kolejno do $-3$, $0$ i $-8$:

$$b^2=16,\qquad b^2=4,\qquad b^2=36.$$

Oś symetrii $x=1$ pozwala zapisać $f(x)=a(x-1)^2+q$.

a) Z punktów $A(-1,0)$ i $B(0,6)$:

$4a+q=0,\qquad a+q=6,$

więc $a=-2,q=8$.

b) Z punktów $A(0,0)$ i $B(3,6)$:

$a+q=0,\qquad4a+q=6,$

więc $a=2,q=-2$.

Parabola wyjściowa ma wzór $y=(x+1)^2$. Przesunięcie o wektor $[u,v]$ daje wzór

$$y=(x-u+1)^2+v.$$

Podstawiamy współrzędne każdego wektora.

Sprowadzamy każdy wzór do postaci $g(x)=3(x-p)^2+q$. Wektor przesunięcia wykresu $3x^2$ jest wtedy równy $[p,q]$:

$$\begin{aligned} \text{a) }&g(x)=3(x+1)^2+2,\\ \text{b) }&g(x)=3(x-1)^2+2,\\ \text{c) }&g(x)=3\left(x+\frac12\right)^2+\frac14,\\ \text{d) }&g(x)=3(x+2)^2. \end{aligned}$$