MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 209

Współczynnik kierunkowy prostej przez dwa punkty jest tangensem kąta nachylenia.

a)

$a=\frac{3-(-1)}{2-(-6)}=\frac12.$

Zatem $\alpha=\arctan\frac12\approx26{,}565^\circ$, czyli z dokładnością do $1^\circ$: $27^\circ$.

b)

$a=\frac{-8-1}{2-(-4)}=-\frac32.$

Kąt z osią $OX$ należy do drugiej ćwiartki:

$\alpha=180^\circ-\arctan\frac32\approx123{,}690^\circ,$

czyli $124^\circ$.

Prosta tworząca z osią $OX$ kąt $\alpha$ ma współczynnik kierunkowy $\tan\alpha$.

a) $\tan30^\circ=\frac{\sqrt3}{3}$. Z równania przez $P(-9,-2\sqrt3)$:

$y+2\sqrt3=\frac{\sqrt3}{3}(x+9),$

otrzymujemy $y=\frac{\sqrt3}{3}x+\sqrt3$.

b) $\tan150^\circ=-\frac{\sqrt3}{3}$. Dla $P(2\sqrt3,-2)$:

$y+2=-\frac{\sqrt3}{3}(x-2\sqrt3),$

czyli $y=-\frac{\sqrt3}{3}x$.

Sprowadzamy równanie do postaci $A(a)x=B(a)$ i osobno badamy zera współczynnika $A(a)$.

a) $x=4a$, więc dla każdego $a\in\mathbb R$ istnieje dokładnie jedno rozwiązanie.

b) $(2-a)x=4$. Dla $a\ne2$ jest jedno rozwiązanie $x=\frac4{2-a}$, a dla $a=2$ nie ma rozwiązań.

c) $(a+1)x=a+1$. Dla $a\ne-1$ jest jedno rozwiązanie $x=1$, a dla $a=-1$ — nieskończenie wiele.

d) $a(5x-1)=0$. Dla $a\ne0$ jest jedno rozwiązanie $x=\frac15$, a dla $a=0$ — nieskończenie wiele.

e)

$a(a-1)x=(a-1)(a+1).$

Dla $a\notin\{0,1\}$ jest jedno rozwiązanie $x=\frac{a+1}{a}$; dla $a=0$ brak rozwiązań, a dla $a=1$ jest ich nieskończenie wiele.

f) Po rozwinięciu:

$(a^2-1)x=a^2+a-2=(a-1)(a+2).$

Dla $a\notin\{-1,1\}$ istnieje dokładnie jedno rozwiązanie

$x=\frac{a+2}{a+1}.$

Dla $a=-1$ równanie jest sprzeczne, a dla $a=1$ tożsamościowe i ma nieskończenie wiele rozwiązań.

a)

$(2-a)x=1,\qquad x=\frac1{2-a}.$

Rozwiązanie istnieje i jest dodatnie dokładnie wtedy, gdy $2-a>0$, czyli $a<2$.

b)

$(a-1)x=-a,\qquad x=\frac{a}{1-a}.$

Analiza znaków licznika i mianownika daje dodatnią wartość dokładnie dla

$0<a<1.$

Dla $x=500$ koszt wynosi

$$$$

Dla $x\ge0$ przejechanych kilometrów koszt opisuje funkcja

$f(x)=100+0{,}2x.$

Jej wykres jest półprostą o początku $(0,100)$ i współczynniku kierunkowym $0{,}2$. Warunek nieprzekroczenia $300$ zł daje

$100+0{,}2x\le300,$

$0{,}2x\le200,\qquad x\le1000.$

Maksymalnie można więc przejechać $1000$ km.

Niech $x$ oznacza część całej kwoty przeznaczoną na akcje firmy $A$. Na akcje firmy $B$ przeznaczono część $1-x$. Średnia stopa zysku spełnia

$0{,}04x+0{,}08(1-x)=0{,}07.$

Stąd

$0{,}08-0{,}04x=0{,}07,\qquad x=0{,}25.$

Na akcje $A$ wydano $25\%$ kwoty, a na akcje $B$ — $75\%$.

Oznaczmy kwoty w tysiącach złotych przez $A,B,O$. Mamy

$A+B+O=100.$

Łączna stopa zwrotu z akcji wynosi $5{,}6\%$, więc

$0{,}02A+0{,}06B=0{,}056(A+B).$

Po uproszczeniu $B=9A$. Zatem wartość portfela akcji to $10A$, a obligacji $O=100-10A$. Całkowity zysk równy $5{,}4$ tys. zł spełnia

$0{,}056\cdot10A+0{,}046(100-10A)=5{,}4.$

Stąd

$0{,}10A+4{,}6=5{,}4,\qquad A=8.$

Wobec tego $B=72$, a $O=20$ (w tysiącach złotych).