MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 208

a) Oznaczmy $u=-2x+1$, wtedy $x=\frac{1-u}{2}$. Zatem

$f(u)=4\cdot\frac{1-u}{2}-3=-2u-1,$

czyli $f(x)=-2x-1$.

b) Dla $u=3x+2$ mamy $x=\frac{u-2}{3}$, więc

$f(u)=9\cdot\frac{u-2}{3}+1=3u-5,$

czyli $f(x)=3x-5$.

Porównujemy współczynniki kierunkowe prostych przez pary punktów.

a)

a_{AC}=\frac{3-2}{-2-0}=-\frac12.$$ Współczynniki są równe, więc punkty są współliniowe i należą do wykresu tej samej funkcji liniowej. **b)** $$a_{AB}=\frac{1-2}{-1-\frac13}=\frac34,qquad a_{AC}=\frac{3-2}{2-\frac13}=\frac35.$$ Współczynniki są różne, więc punkty nie należą do wykresu tej samej funkcji liniowej.

a) Punkty $A$ i $C$ mają tę samą pierwszą współrzędną $0$. Wykres funkcji może mieć dla niej tylko jedną wartość, więc $a=-2$.

b) Prosta przez $A(1,3)$ i $B(5,5)$ ma wzór $y=\frac12x+\frac52$. Z warunku $C(a,0)$ wynika $a=-5$.

c) Punkty $A$ i $B$ wyznaczają prostą poziomą $y=7$, zatem $a=7$.

d) Nachylenie prostej przez $A(3,2)$ i $C(-1,\frac{14}{3})$ wynosi $-\frac23$. Warunek dla $B(a,6)$:

$6-2=-\frac23(a-3),$

daje $a=-3$.

Funkcja liniowa jest stała wtedy i tylko wtedy, gdy jej współczynnik przy $x$ jest równy zeru.

a) $m+2=0$, zatem $m=-2$.

b) $2-|m+3|=0$, więc $|m+3|=2$ i

$m=-5\quad\text{lub}\quad m=-1.$

Funkcja liniowa jest malejąca dokładnie wtedy, gdy współczynnik przy $x$ jest ujemny.

a) $m^2-4<0$, czyli $m\in(-2,2)$.

b) $6-|m|<0$, czyli $|m|>6$:

$m\in(-\infty,-6)\cup(6,\infty).$

c) $(m-2)(m-3)<0$, zatem $m\in(2,3)$.

d) $4-|m+4|<0$, czyli $|m+4|>4$:

$m\in(-\infty,-8)\cup(0,\infty).$

Współczynnik kierunkowy prostej $AB$ jest równy

$a_{AB}=\frac{2-(-3)}{4-5}=-5,$

a prostej $AC$:

$a_{AC}=\frac{(2m-1)-(-3)}{3-5}=-(m+1).$

a) Warunek prostopadłości daje

$(-5)\bigl(-(m+1)\bigr)=-1,$

stąd $m=-\frac65$.

b) Prosta $3x-6y+1=0$ ma współczynnik kierunkowy $\frac12$. Warunek $-(m+1)=\frac12$ daje $m=-\frac32$.

Korzystamy z warunku, że iloczyn współczynników kierunkowych prostych prostopadłych wynosi $-1$.

a)

$(1-m)(-2)=-1,$

więc $m=\frac12$.

b)

$m(m-2)=-1\iff(m-1)^2=0,$

zatem $m=1$.

c) Dla $m\ne1$ warunek przyjmuje postać

$\frac{|m|-1}{m-1}=-1.$

Dla $m\ge0$, $m\ne1$, lewa strona jest równa $1$; dla $m<0$ równanie $-(m+1)=-(m-1)$ prowadzi do sprzeczności. Dla $m=1$ druga prosta nie jest określona. Nie istnieje więc żadna wartość parametru.

Po zapisaniu każdej prostej w postaci $y=ax+b$ korzystamy z $a=\tan\alpha$, gdzie $0^\circ<\alpha<180^\circ$.

a) $y=x-2\sqrt3$, więc $\tan\alpha=1$ i $\alpha=45^\circ$.

b) $y=\sqrt3x-\frac1{\sqrt3}$, więc $\alpha=60^\circ$.

c) $y=-x+\frac32$, więc $\alpha=135^\circ$.

d) $y=-\frac1{\sqrt3}x+\frac2{\sqrt6}$, więc $\alpha=150^\circ$.