MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 207

Dla niepionowych prostych prostopadłych iloczyn współczynników kierunkowych jest równy $-1$.

a) Nachylenie wynosi $-\frac12$. Przez $P(2,-1)$ otrzymujemy $y=-\frac12x$.

b) Nachylenie wynosi $\frac14$. Przez $P(8,4)$ otrzymujemy $y=\frac14x+2$.

c) Prosta $k$ ma postać $y=\frac13x-1$, więc szukane nachylenie to $-3$. Przez $P(1,-1)$ otrzymujemy $y=-3x+2$.

d) Prosta $k$ ma postać $y=\sqrt5x+3$, więc szukane nachylenie to $-\frac1{\sqrt5}$. Przez $P(\sqrt5,-3)$ otrzymujemy

$y=-\frac{x}{\sqrt5}-2=-\frac{\sqrt5}{5}x-2.$

a) Wykres przechodzi przez $(2,0)$ i $(0,4)$. Jego nachylenie wynosi $-2$, a wyraz wolny $4$, zatem

$f(x)=-2x+4.$

b) Nachylenie prostej przez $(\frac52,\frac14)$ i $(2,-1)$ jest równe

$\frac{\frac14-(-1)}{\frac52-2}=\frac52.$

Z warunku $f(2)=-1$ otrzymujemy wyraz wolny $-6$, czyli

$f(x)=\frac52x-6.$

Po zebraniu niewiadomej po jednej stronie i uproszczeniu pierwiastków dostajemy:

a) $\sqrt2x=\sqrt2+1,\qquad x=1+\frac{\sqrt2}{2}.$

b) $(\sqrt3-1)t=2-\sqrt3,\qquad t=\frac{\sqrt3-1}{2}.$

c) Ponieważ $\sqrt{20}=2\sqrt5$,

$\sqrt5(\sqrt3-1)x=3\sqrt5,qquad x=\frac{3(\sqrt3+1)}2.$

d) Ponieważ $\sqrt{12}=2\sqrt3$,

$\sqrt3(\sqrt2+1)z=3\sqrt3,qquad z=3(\sqrt2-1).$

a) Po pomnożeniu przez $10$:

$2(x+5)>5(4x-1)\iff15>18x,$

więc $x<\frac56$.

b) Dzielimy przez dodatnie $\sqrt3$ i używamy $\sqrt{12}=2\sqrt3$:

$x-1\ge2x\iff x\le-1.$

c)

$30x-60-5x+10\le8x-16\iff17x\le34,$

więc $x\le2$.

d) Obie strony upraszczają się do wyrażeń z $-x^2$:

$3-x^2<1+2\sqrt3x-x^2\iff x>\frac1{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}.$

Równania prostych odczytujemy z zaznaczonych punktów kratowych.

a) Niebieska prosta przechodzi przez $(0,2)$ i $(2,3)$, a czerwona przez $(0,5)$ i $(5,0)$:

$\begin{cases}y=\frac12x+2,\\y=-x+5.\end{cases}$

Rozwiązaniem jest punkt $(2,3)$.

b) Dokładny odczyt punktów kratowych pokazuje, że obie proste mają współczynnik kierunkowy $-\frac13$:

$\begin{cases}y=-\frac13x+\frac23,\\y=-\frac13x+3.\end{cases}$

Mają różne wyrazy wolne, są więc równoległe i układ nie ma rozwiązań.

c) Niebieska prosta przechodzi m.in. przez $(2,1)$ i $(3,-2)$, a czerwona przez $(3,-2)$ i $(4,2)$:

$\begin{cases}y=-3x+7,\\y=4x-14.\end{cases}$

Rozwiązaniem jest $(3,-2)$.

Sprowadzamy każde równanie do prostej i wyznaczamy punkt wspólny.

a) Z $x=3y$ i $2x-y=10$ dostajemy $(x,y)=(6,2)$.

b) Po odjęciu równań wynika $x=y$, zatem $(x,y)=(1,1)$.

c) Pierwsze równanie daje $y=2x+5$; po podstawieniu do drugiego otrzymujemy $(x,y)=(0,5)$.

d) Równania są równoważne odpowiednio $y=3x+1$ i $y=3x+2$, więc proste są równoległe i układ nie ma rozwiązań.

e) Pierwsze równanie daje $2y=x+10$, a drugie $2y=x+1$; układ nie ma rozwiązań.

f) Drugie równanie jest połową pierwszego. Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań:

$\{(x,y):x+\tfrac12y=1\},\quad\text{czyli }y=2-2x.$

Ze skanu odczytujemy, że $f$ przecina oś $OX$ dla $x=-6$, $g$ dla $x=4$, a wykresy przecinają się dla $x=2$ (w punkcie $(2,4)$). Funkcja $f$ jest rosnąca, a $g$ malejąca.

a) Dla $x<-6$ mamy $f(x)<0<g(x)$, a dla $x>4$ mamy $g(x)<0<f(x)$. Zatem wartości mają różne znaki dla

$x\in(-\infty,-6)\cup(4,\infty).$

b) Przed punktem przecięcia wykres $f$ leży nie wyżej niż $g$, więc

$f(x)\le g(x)\iff x\le2.$