MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 202

Współrzędne charakterystycznych punktów odczytano bezpośrednio ze skanu.

a) Wykres biegnie kolejno przez punkty $(-3,1)$ (bez tego punktu), $(-1,-1)$, $(1,3)$, $(2,1)$ i $(3,1)$ (bez tego punktu). Stąd

$D_f=(-3,3),\qquad W_f=[-1,3].$

Funkcja maleje na $(-3,-1]$, rośnie na $[-1,1]$, maleje na $[1,2]$ i jest stała na $[2,3)$. Pierwszy odcinek przecina oś $OX$ dla $x=-2$, a drugi dla $x=-\frac12$. Zatem

$f(x)\geq0\iff x\in(-3,-2]\cup\left[-\frac12,3\right).$

b) Lewa łamana ma punkty $(-4,0)$, $(-2,-2)$ i otwarty punkt $(-1,-1)$; środkowy łuk ma otwarte końce $(-1,0)$, $(1,0)$ i minimum $(0,-1)$; prawa łamana ma punkty $(1,1)$, $(2,3)$ i $(4,0)$. Zatem

$D_f=[-4,-1)\cup(-1,4],\qquad W_f=[-2,3].$

Funkcja maleje na $[-4,-2]$, $(-1,0]$ i $[2,4]$, a rośnie na $[-2,-1)$ i $[0,2]$. Wartości nieujemne przyjmuje dokładnie dla

$x\in\{-4\}\cup[1,4].$

Dziedzinę wyznaczamy z warunków istnienia pierwiastków i niezerowania się mianowników.

a) $x^2-9\ne0$, więc $D_f=\mathbb R\setminus\{-3,3\}$. Licznik $x^2+9$ jest zawsze dodatni, zatem brak miejsc zerowych.

b) $x^2+9>0$ dla każdego $x$, więc $D_f=\mathbb R$. Równanie $x^2-9=0$ daje miejsca zerowe $-3$ i $3$.

c) Musi być $x+1\ge0$ oraz $x^2-1\ne0$. Ponieważ $x=-1$ także zeruje mianownik,

$D_f=(-1,1)\cup(1,\infty).$

Jedyny kandydat na miejsce zerowe, $x=-1$, nie należy do dziedziny, więc miejsc zerowych nie ma.

d) Pierwiastek w mianowniku musi być dodatni, czyli $x>-1$. Stąd $D_f=(-1,\infty)$, a spośród zer licznika $-1,1$ do dziedziny należy tylko $x=1$.

e) $D_f=[-5,\infty)$, a miejscem zerowym jest $x=-5$.

f) $6-4x\ge0$, czyli $D_f=(-\infty,\frac32]$; miejscem zerowym jest $x=\frac32$.

a) Oba czynniki pierwiastkowe muszą istnieć osobno:

$x-2\ge0\quad\text{i}\quad x-4\ge0,$

zatem $D_f=[4,\infty)$.

b) Wystarczy nieujemność iloczynu $(x-2)(x-4)$, która zachodzi poza przedziałem między jego zerami:

$D_f=(-\infty,2]\cup[4,\infty).$

c) Składnik $(2x-6)^{-1/2}$ wymaga $2x-6>0$, więc $D_f=(3,\infty)$.

d) Pierwszy składnik wymaga $x^2-4\ge0$, a drugi, znajdujący się w mianowniku, wymaga $9-x^2>0$. Łącznie $2\le|x|<3$, czyli

$D_f=(-3,-2]\cup[2,3).$