MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 203

Ze skanu odczytujemy punkty charakterystyczne: $(-4,0)$, minimum $(-3,-1)$, maksimum $(-1,3)$, otwarty punkt $(1,1)$, drugi punkt o argumencie $1$ równy $(1,3)$ oraz koniec $(4,1)$.

a) W przedziale $[-3,0]$ najmniejsza wartość to $-1$ (dla $x=-3$), a największa to $3$ (dla $x=-1$).

b) W przedziale $[1,4]$ największa wartość to $3$ (dla $x=1$), a najmniejsza to $1$ (dla $x=4$).

c) W całej dziedzinie $[-4,4]$ wartość najmniejsza wynosi $-1$, a największa $3$.

Wykres $f_1(x)=f(x+4)+1$ otrzymujemy przez przesunięcie wykresu $f$ o wektor $[-4,1]$, a wykres $f_2(x)=f(x-4)-1$ — o wektor $[4,-1]$.

a) Ze skanu $D_f=[-3,4]$ i $W_f=[-1,2]$. Po przesunięciach:

$D_{f_1}=[-7,0],\quad W_{f_1}=[0,3],$

$D_{f_2}=[1,8],\quad W_{f_2}=[-2,1].$

Do szkicu można przesunąć charakterystyczne wierzchołki $(-3,-1),(-2,-1),(0,1),(1,0),(3,2),(4,2)$ odpowiednio o podane wektory.

b) Ze skanu $D_f=[-2,2]$ i $W_f=[-1,2]$. Zatem

$D_{f_1}=[-6,-2],\quad W_{f_1}=[0,3],$

$D_{f_2}=[2,6],\quad W_{f_2}=[-2,1].$

W tym przypadku przesuwamy punkty $(-2,2),(-1,-1),(0,0),(1,-1),(2,2)$.

Na wykresie źródłowym charakterystyczne punkty funkcji $f$ to

$(-5,2),\ (1,2),\ (3,-2),\ (7,3),\ (8,1).$

Porównanie tych punktów z każdym wykresem $g$ daje:

a) wszystkie punkty przesunięto o $[2,-1]$, więc

$g(x)=f(x-2)-1.$

b) wszystkie punkty przesunięto o $[-1,2]$, więc

$g(x)=f(x+1)+2.$

c) rzędne zmieniły znak, czyli wykres odbito względem osi $OX$:

$g(x)=-f(x).$

d) odcięte zmieniły znak, czyli wykres odbito względem osi $OY$:

$g(x)=f(-x).$

Każdy wykres jest łamaną w kształcie litery V (albo odwróconej V). Wystarczy wskazać jej wierzchołek i kierunek ramion:

a) $g(x)=2|x+3|$ — przesunięcie $2|x|$ o $3$ w lewo; wierzchołek $(-3,0)$.

b) $g(x)=2|x-4|$ — przesunięcie o $4$ w prawo; wierzchołek $(4,0)$.

c) $g(x)=2|x+1|-2$ — przesunięcie o wektor $[-1,-2]$; wierzchołek $(-1,-2)$.

d) $g(x)=-2|x+2|+1$ — odbicie względem $OX$ i przesunięcie o $[-2,1]$; wierzchołek $(-2,1)$, ramiona skierowane w dół.

e) $g(x)=2|x-3|+3$ — wierzchołek $(3,3)$.

f) $g(x)=-2|x+4|-1$ — wierzchołek $(-4,-1)$, ramiona skierowane w dół.