MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 200

a) Trzy kolejne liczby naturalne mają postać $n,n+1,n+2$. Ich suma wynosi $3n+3=3(n+1)$, więc

$$[n+(n+1)+(n+2)]^2=9(n+1)^2.$$

Kwadrat sumy jest zatem podzielny przez $9$.

b) Jeśli $a+b$ jest parzyste, to dla pewnego $k\in\mathbb Z$ mamy $a+b=2k$. Wówczas

$$a-b=(a+b)-2b=2(k-b),$$

czyli różnica także jest parzysta.

a) Jeśli wspólna cyfra jest równa $c$, liczba ma postać

$$c(100000+10000+1000+100+10+1)=111111c.$$

Liczba $111111$ jest podzielna przez $3$ (jej suma cyfr wynosi $6$), więc cała liczba także jest podzielna przez $3$.

b) Niech $S$ będzie sumą pozostałych cyfr. Z założenia $S\equiv0\pmod9$. Ponieważ cała liczba jest podzielna przez $9$, jej suma cyfr spełnia $S+a\equiv0\pmod9$. Stąd $a\equiv0\pmod9$. Cyfra $a$ należy do zbioru $\{0,1,\ldots,9\}$, więc $a=0$ lub $a=9$.

a) Niech $x=10a+b$. Po zamianie cyfr $y=10b+a$. Wtedy

$$x+y=11a+11b=11(a+b),$$

więc suma jest podzielna przez $11$.

b) Niech $x=100a+10b+c$, a liczba z odwróconymi cyframi $y=100c+10b+a$. Wówczas

$$x-y=99a-99c=99(a-c),$$

zatem różnica jest podzielna przez $99$.

Niech większa liczba będzie równa $n$, więc mniejsza to $n-2$. Rozwijamy różnicę:

$$n^4-(n-2)^4 =n^4-(n^4-8n^3+24n^2-32n+16)$$ $$=8(n^3-3n^2+4n-2).$$

Wyrażenie w nawiasie jest całkowite, więc cała różnica jest podzielna przez $8$.

Trzy kolejne liczby nieparzyste możemy zapisać jako $2n-1$, $2n+1$ i $2n+3$. Suma ich kwadratów powiększona o $1$ wynosi

$$(2n-1)^2+(2n+1)^2+(2n+3)^2+1$$ $$=12n^2+12n+12=12(n^2+n+1).$$

Jest więc podzielna przez $12$.

Trzy kolejne liczby naturalne mają postać $n,n+1,n+2$. Ich suma wynosi $3(n+1)$, zatem jej sześcian to

$$[3(n+1)]^3=27(n+1)^3.$$

Otrzymana liczba jest wielokrotnością $27$.

a) Rozkładamy

$$2n(4n^2-1)=2n(2n-1)(2n+1).$$

Iloczyn zawiera czynnik $2$, a jedna z trzech kolejnych liczb $2n-1,2n,2n+1$ jest podzielna przez $3$. Jest więc podzielny przez $6$.

b)

$$n(n^2-7)=n(n^2-1)-6n=n(n-1)(n+1)-6n.$$

Iloczyn trzech kolejnych liczb i liczba $6n$ są podzielne przez $6$, więc ich różnica także.

c) Liczby $n^9$ i $n$ mają tę samą parzystość, zatem $n^9-n$ jest podzielne przez $2$. Ponadto $n^3\equiv n\pmod3$, więc $n^9=(n^3)^3\equiv n^3\equiv n\pmod3$. Różnica jest podzielna także przez $3$, a zatem przez $6$.

W pierwszej sumie usuwamy niewymierność z mianownika:

$$\frac1{\sqrt k+\sqrt{k+1}}=\sqrt{k+1}-\sqrt k.$$

Dlatego

$$a=(\sqrt2-1)+(\sqrt3-\sqrt2)+\cdots+(10-\sqrt{99})=9.$$

W drugiej sumie

$$\frac1{\sqrt k-\sqrt{k+1}}=-(\sqrt k+\sqrt{k+1}).$$

Znaki składników są naprzemienne, zatem

$$b=\sum_{k=1}^{99}(-1)^k(\sqrt k+\sqrt{k+1}).$$

Dla każdego $2\le j\le99$ składniki z $\sqrt j$ redukują się parami. Pozostają tylko $-\sqrt1-\sqrt{100}=-11$. W konsekwencji

$$a+b=9-11=-2.$$

a) Korzystamy z rozkładu

$$\frac1{k(k+1)}=\frac1k-\frac1{k+1}.$$

Suma teleskopowa wynosi

$$\sum_{k=2}^{49}\frac1{k(k+1)} =\left(\frac12-\frac13\right)+\cdots+ \left(\frac1{49}-\frac1{50}\right) =\frac12-\frac1{50}=0{,}48.$$

b) Każdy składnik ma postać

$$\frac1{2k(2k+2)}=\frac1{4k(k+1)}.$$

Stąd

$$\sum_{k=1}^{n}\frac1{2k(2k+2)} =\frac14\left(1-\frac1{n+1}\right) =\frac{n}{4(n+1)}<\frac14,$$

bo $n<n+1$ dla $n\ge1$.