MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 199

a) Z $||x|-4|=3$ wynika $|x|-4=\pm3$. Dopuszczalne wartości to $|x|=7$ lub $|x|=1$, więc $x\in\{-7,-1,1,7\}$.

b) Z $|1-|x||=6$ dostajemy $1-|x|=\pm6$. Równanie $|x|=-5$ jest niemożliwe, a $|x|=7$ daje $x=\pm7$.

c) Z $||2x-4|-3|=7$ wynika $|2x-4|-3=\pm7$. Jedyną dopuszczalną wartością jest $|2x-4|=10$, zatem $2x-4=\pm10$ i $x=-3$ lub $x=7$.

a) Nierówność $-6\le4|x|-2\le6$ jest równoważna $|x|\le2$, ponieważ jej dolne ograniczenie jest automatycznie spełnione. Stąd $x\in[-2,2]$.

b) Z $||x|-1|>3$ wynika $|x|-1>3$ albo $|x|-1<-3$. Drugi warunek jest niemożliwy, a pierwszy daje $|x|>4$, czyli $x\in(-\infty,-4)\cup(4,\infty)$.

c) Mamy

$$-4<|1-2x|-1<4.$$

Dolne ograniczenie jest automatyczne, zostaje $|1-2x|<5$. Zatem $-5<1-2x<5$, czyli $-2<x<3$.

a) Zauważamy, że

$$6-4\sqrt2=(2-\sqrt2)^2, \qquad 6+4\sqrt2=(2+\sqrt2)^2.$$

Obie liczby $2-\sqrt2$ i $2+\sqrt2$ są dodatnie, więc lewa strona jest równa $(2-\sqrt2)+(2+\sqrt2)=4$.

b) Podobnie

$$7+2\sqrt{10}=(\sqrt5+\sqrt2)^2, \qquad 7-2\sqrt{10}=(\sqrt5-\sqrt2)^2.$$

Ponieważ $\sqrt5-\sqrt2>0$, suma pierwiastków wynosi $(\sqrt5+\sqrt2)+(\sqrt5-\sqrt2)=2\sqrt5$.

Usuwamy niewymierność z obu mianowników:

$$\frac{\sqrt3}{2-\sqrt3} =\frac{\sqrt3(2+\sqrt3)}{4-3}=2\sqrt3+3,$$ $$\frac{\sqrt3}{2+\sqrt3} =\frac{\sqrt3(2-\sqrt3)}{4-3}=2\sqrt3-3.$$

Ich różnica jest równa

$$(2\sqrt3+3)-(2\sqrt3-3)=6,$$

a więc jest liczbą wymierną.

a) Dla $n=4$ prawa strona wzoru ma postać

$$(a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3).$$

Po wymnożeniu otrzymujemy

$$a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3-a^3b-a^2b^2-ab^3-b^4 =a^4-b^4.$$

b) Dla $n=6$ analogicznie

$$(a-b)(a^5+a^4b+a^3b^2+a^2b^3+ab^4+b^5).$$

Po wymnożeniu każdy wyraz mieszany występuje raz ze znakiem dodatnim i raz ze znakiem ujemnym. Pozostają tylko $a^6-b^6$, co dowodzi wzoru.

Przenosimy prawą stronę na lewą i dopełniamy kwadraty.

a)

$$a^2+b^2-2(a-b-1)=(a-1)^2+(b+1)^2\ge0.$$

b)

$$a^2+b^2-4(a+b-2)=(a-2)^2+(b-2)^2\ge0.$$

c)

$$a^2+ab+b^2=\left(a+\frac b2\right)^2+\frac34b^2\ge0.$$

Każda prawa strona jest sumą kwadratów, więc nierówności zachodzą dla dowolnych liczb rzeczywistych $a,b$.

Mnożymy założenie przez dodatnie mianowniki:

$$a(a+1)=b(b+1).$$

Po przeniesieniu na jedną stronę dostajemy

$$a^2+a-b^2-b=(a-b)(a+b+1)=0.$$

Ponieważ $a,b>0$, czynnik $a+b+1$ jest dodatni, zatem $a=b$. Wtedy

$$\frac{(a+b)^2}{a^2}+\frac{(a+b)^2}{b^2} =\frac{(2a)^2}{a^2}+\frac{(2a)^2}{a^2}=4+4=8.$$

Ponieważ $a,b>0$, możemy pomnożyć równość przez $2ab(a+b)$. Otrzymujemy

$$b(a+b)+a(a+b)=4ab,$$

czyli

$$(a+b)^2=4ab.$$

Po przeniesieniu prawej strony

$$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2=0.$$

Stąd $a-b=0$, a więc $a=b$.

Niech mniejszy dodatni wykładnik będzie równy $n\ge1$. Suma dwóch kolejnych potęg wynosi

$$2^n+2^{n+1}=2^n(1+2)=3\cdot2^n.$$

Czynnik $2^n$ jest parzysty, więc iloczyn jest podzielny przez $6$.

Suma trzech kolejnych potęg ma postać

$$2^n+2^{n+1}+2^{n+2}=2^n(1+2+4)=7\cdot2^n.$$

Ponownie $2^n$ jest parzyste, zatem ta suma jest podzielna przez $14$.

a) Dwie dowolne liczby nieparzyste zapiszmy jako $2k+1$ i $2l+1$. Wtedy

$$(2k+1)^2+(2l+1)^2 =2(2k^2+2k+2l^2+2l+1),$$

czyli suma jest parzysta.

b) Dwie kolejne liczby naturalne mają postać $n$ i $n+1$. Różnica kwadratów wynosi

$$(n+1)^2-n^2=2n+1,$$

a więc jest liczbą nieparzystą.