MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 198

a)

$$|2x+4|\le6\iff |x+2|\le3\iff -5\le x\le1.$$

b)

$$|2x+3|>1\iff 2x+3<-1\ \text{lub}\ 2x+3>1,$$

czyli $x<-2$ lub $x>-1$.

c) Ponieważ $|5-10x|=10|x-\frac12|$, nierówność daje

$$8\left|x-\frac12\right|\ge4,$$

zatem $|x-\frac12|\ge\frac12$ i $x\le0$ lub $x\ge1$.

d) Lewa strona upraszcza się do $2|x+5|$. Po odjęciu $|x+5|$ dostajemy $|x+5|>7$, więc $x<-12$ lub $x>2$.

Rozpatrujemy przedziały wyznaczone przez miejsca zerowe wyrażeń pod modułami.

a) Dla $x<-2$ równanie ma postać $-2x-2=8$, skąd $x=-5$. Dla $-2\le x\le0$ lewa strona wynosi $2$, a dla $x>0$ równanie $2x+2=8$ daje $x=3$.

b) Suma odległości liczby $x$ od $1$ i $3$ jest równa odległości między tymi punktami, czyli $2$, dokładnie dla $x\in[1,3]$.

c) Punkty podziału to $-4$ i $\frac12$. Sprawdzenie trzech przedziałów daje jedyne rozwiązanie z przedziału $[-4,\frac12)$:

$$1-2x=2x+4,\qquad x=-\frac34.$$

d) Prawa strona musi być nieujemna, więc $x\in[-1,7]$; na tym przedziale $|2x+3|=2x+3$. Dla $x\le3$ otrzymujemy $x=0$, a dla $x\ge3$ równanie $2x+3=21-3x$ daje $x=\frac{18}{5}$.

Możemy porównać kwadraty nieujemnych stron albo skorzystać z interpretacji jako odległości.

a)

$$(x-7)^2\ge(x+3)^2\iff -20x+40\ge0\iff x\le2.$$

b)

$$(x+5)^2<(x+1)^2\iff 8x+24<0\iff x<-3.$$

c) Między $0$ i $2$ suma odległości wynosi $2$. Poza tym przedziałem warunek sumy co najmniej $4$ daje odpowiednio $x\le-1$ lub $x\ge3$.

d) Między $-1$ i $1$ suma wynosi $2$. Po lewej jest równa $-2x$, a po prawej $2x$, więc warunek $<3$ daje łącznie $-\frac32<x<\frac32$.

Dziedzina pierwotnego wyrażenia wymaga $xy\ne0$ oraz $y^2-x^2\ne0$. W tej dziedzinie

\frac{xy}{y^2-x^2}left(\frac{x^2+y^2}{2xy}+1\right) =\frac{(x+y)^2}{2(y-x)(y+x)} =\frac{x+y}{2(y-x)}.

Równanie jest zatem równoważne

$$|x+y|=4|y-x|.$$

Stąd $x+y=4(y-x)$ albo $x+y=-4(y-x)$, czyli odpowiednio

$$y=\frac53x\qquad\text{lub}\qquad y=\frac35x.$$

Na obu prostych punkt $(0,0)$ nie należy do dziedziny i trzeba go usunąć.

Niech wspólna cena początkowa wynosi $C$.

a) Po dwóch obniżkach cena $A$ wynosi $0{,}8^2C=0{,}64C$, a cena $B$ po jednej obniżce $0{,}60C$. Tańszy jest towar $B$.

b) Po dwóch podwyżkach cena $A$ wynosi $1{,}2^2C=1{,}44C$, a cena $B$ po jednej podwyżce $1{,}40C$. Tańszy jest towar $B$.

c) Cena $A$ wynosi $0{,}8\cdot1{,}2C=0{,}96C$, a cena $B$ nadal $C$. Tańszy jest towar $A$.

Niech $N$ oznacza cenę netto. Z podatkiem $7\%$ mamy

$$1{,}07N=176{,}55,$$

więc $N=165$ zł. Po podwyżce podatku cena brutto wyniesie

$$1{,}22\cdot165=201{,}30\ \text{zł}.$$

Podatek $14$ zł stanowi $20\%$ odsetek, zatem odsetki przed opodatkowaniem wyniosły

$$\frac{14}{0{,}20}=70\ \text{zł}.$$

Jeśli wpłacono kwotę $K$, to $0{,}035K=70$, skąd

$$K=\frac{70}{0{,}035}=2000\ \text{zł}.$$

a) Oprocentowanie wzrosło z $5\%$ do $6{,}2\%$. Względny wzrost wynosi

$$\frac{1{,}2}{5}\cdot100\%=24\%.$$

b) Dwadzieścia procent z $5\%$ to $0{,}20\cdot5\%=1\%$. Oprocentowanie spadło więc o jeden punkt procentowy, z $5\%$ do $4\%$.