MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 197

a) Po podniesieniu różnicy do kwadratu otrzymujemy

$$(3+\sqrt5)+(3-\sqrt5)-2\sqrt{(3+\sqrt5)(3-\sqrt5)} =6-2\sqrt4=2.$$

Liczba jest wymierna.

b) Mamy

$$\left(\frac1{5\sqrt5}\right)^{2/3}=\frac15, \qquad 25^{-1/4}=\frac1{\sqrt5}.$$

Iloczyn sumy i różnicy jest równy $\frac1{25}-\frac15=-\frac4{25}$, więc jest wymierny.

c) Iloczyn wewnątrz nawiasu to

$$[(\sqrt7+\sqrt3)(\sqrt7-\sqrt3)]^{\sqrt2} =4^{\sqrt2}.$$

Po podniesieniu do potęgi $\frac{\sqrt2}{4}$ dostajemy $4^{1/2}=2$, liczbę wymierną.

Mamy

$$a^2=\sqrt3-\sqrt2,\qquad b^2=\sqrt3+\sqrt2,$$

więc $a^2b^2=1$, a ponieważ $a,b>0$, także $ab=1$.

a) $ab=1$.

b) $\frac1{a^2}+\frac1{b^2}=\frac{a^2+b^2}{a^2b^2}=2\sqrt3$.

c) $\frac ba+\frac ab=\frac{a^2+b^2}{ab}=2\sqrt3$.

d) $\frac1{b^2}-\frac1{a^2}=a^2-b^2=-2\sqrt2$.

e) $(a-b)^2=a^2+b^2-2ab=2\sqrt3-2$.

f) $(a+b)^2=a^2+b^2+2ab=2\sqrt3+2$.

g) Ponieważ $1/a^2=b^2$, suma wynosi $2b^2=2(\sqrt3+\sqrt2)$.

h) Z tej samej zależności $1/a^2-b^2=0$.

a) Suma sześcianów ma postać

$$(x+\sqrt3)^3+(x-\sqrt3)^3=2x^3+18x.$$

Ponadto $2x(x+3)(x-3)=2x^3-18x$, więc całe wyrażenie upraszcza się do $4x^3$. Dla $x=\frac{\sqrt3}{2}$ ma ono wartość

$$4\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^3=\frac{3\sqrt3}{2}.$$

b) Korzystamy z rozkładu sumy i różnicy sześcianów:

$$(x-\sqrt3)(x^2+\sqrt3x+3)=x^3-3\sqrt3,$$ $$(x+\sqrt3)(x^2-\sqrt3x+3)=x^3+3\sqrt3.$$

Suma jest równa $2x^3$, a po podstawieniu $x=\frac{\sqrt3}{2}$ otrzymujemy $\frac{3\sqrt3}{4}$.

a) Rozwijamy iloczyny:

$$(\sqrt6x-y)(\sqrt6x+y)=6x^2-y^2,$$ $$-(3x+y)^2+3x(2y+x)=-6x^2-y^2.$$

Suma jest równa $-2y^2$. Dla $y=1-2\sqrt2$ mamy $y^2=9-4\sqrt2$, więc wartość wynosi $-18+8\sqrt2$.

b) Pierwszy iloczyn jest sumą sześcianów:

$$(x+2y)(x^2-2xy+4y^2)=x^3+8y^3.$$

Po odjęciu $(x+2y)^3$ zostaje $-6x^2y-12xy^2$, a dodanie $6xy(x+2y)$ daje $0$. Wyrażenie jest więc równe $0$ dla każdych $x,y$, w szczególności dla podanych.

Korzystamy z tożsamości

$$a^4+b^4=(a^2+b^2)^2-2a^2b^2.$$

a) Dla $ab=1$ i $a^2+b^2=3$ otrzymujemy $9-2=7$.

b) Z $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ wynika $1=9+2ab$, czyli $ab=-4$. Zatem

$$a^4+b^4=9^2-2(-4)^2=81-32=49.$$

Liczba $2\sqrt3-3$ jest dodatnia i

$$(2\sqrt3-3)^2=12+9-12\sqrt3=21-12\sqrt3.$$

Stąd

$$\sqrt{21-12\sqrt3}=2\sqrt3-3.$$

Z drugiej strony

$$\left(\frac{2\sqrt3+3}{3}\right)^{-1} =\frac3{2\sqrt3+3} =\frac{3(2\sqrt3-3)}{12-9}=2\sqrt3-3.$$

Obie liczby są więc wzajemnie odwrotne.

Ponieważ $\sqrt2-1>0$ oraz

$$(\sqrt2-1)^2=2-2\sqrt2+1=3-2\sqrt2,$$

mamy

$$\sqrt{3-2\sqrt2}=\sqrt2-1=-(1-\sqrt2).$$

Pierwsza liczba jest zatem liczbą przeciwną do drugiej.

W każdym podpunkcie przenosimy prawą stronę na lewą i otrzymujemy kwadrat lub iloczyn nieujemny.

a)

$$(2x+1)^2-8x=4x^2-4x+1=(2x-1)^2\ge0.$$

b)

$$x(x+12)-9(2x-1)=x^2-6x+9=(x-3)^2\ge0.$$

c) Ponieważ $x^2+1>0$, nierówność jest równoważna

$$4\ge(3-x^2)(x^2+1).$$

Różnica stron wynosi

$$4-(3-x^2)(x^2+1)=x^4-2x^2+1=(x^2-1)^2\ge0.$$

Wszystkie trzy nierówności zachodzą dla każdego $x\in\mathbb R$.

Sprowadzamy równania do postaci $|u|=a$.

a) $5|x+2|=20$, więc $|x+2|=4$ i $x=-6$ lub $x=2$.

b) $7|1-2x|=7$, więc $1-2x=\pm1$ i $x=0$ lub $x=1$.

c) Obie wartości bezwzględne mają czynnik $|x+2|$:

$$3|x+2|+7|x+2|=10.$$

Stąd $|x+2|=1$ i $x=-3$ lub $x=-1$.

d) Niech $t=|x-3|$. Wtedy $4t=5-t$, zatem $t=1$ i $x=2$ lub $x=4$.

e) Pierwiastek jest równy $|3x-1|$, natomiast $|9x-3|=3|3x-1|$. Otrzymujemy $4|3x-1|=12$, skąd $x=-\frac23$ lub $x=\frac43$.

f) Pierwiastek jest równy $|x-5|$. Po oznaczeniu $t=|x-5|$ równanie ma postać $t=8-3t$, więc $t=2$ i $x=3$ lub $x=7$.

Rozpisujemy każdy warunek na dwie części osi.

a) $1\le|x|<4$ daje $-4<x\le-1$ lub $1\le x<4$.

b) $2<|x-1|\le7$ daje

$$-7\le x-1<-2\quad\text{lub}\quad2<x-1\le7,$$

czyli $-6\le x<-1$ lub $3<x\le8$.

c) Nierówność $0\le|x+3|$ jest zawsze spełniona, a $|x+3|<8$ daje $-11<x<5$.