MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 196

Korzystamy z $\sqrt{u^2}=|u|$ i ustalamy znaki wyrażeń.

a) Ponieważ $\sqrt2<2$,

$$|2\sqrt2+1|-2|\sqrt2-2| =2\sqrt2+1-2(2-\sqrt2)=4\sqrt2-3.$$

b) Ponieważ $\sqrt{11}<2\sqrt3$,

$$|\sqrt{11}-2\sqrt3|(\sqrt{11}+2\sqrt3) =(2\sqrt3-\sqrt{11})(2\sqrt3+\sqrt{11})=1.$$

c) $|1-\sqrt3|=\sqrt3-1$.

d) Ponieważ $8>3\sqrt7$, otrzymujemy $|8-3\sqrt7|=8-3\sqrt7$.

Stosujemy własność $|u|=a\iff u=\pm a$ dla $a>0$.

a) $|x+3|=0$ daje $x=-3$.

b) $x+1=\pm3$, więc $x=-4$ lub $x=2$.

c) $|2-x|=2$, zatem $2-x=\pm2$ i $x=0$ lub $x=4$.

d) $|1-x|=3$, zatem $1-x=\pm3$ i $x=-2$ lub $x=4$.

a) Ponieważ $3-2\sqrt3<0$, mamy $|3-2\sqrt3|=2\sqrt3-3$. Równanie przyjmuje postać

$$|x+2\sqrt3-(2\sqrt3-3)|=|x+3|=1,$$

więc $x=-4$ lub $x=-2$.

b) Ponieważ $2-\sqrt5<0$,

$$\sqrt{(2-\sqrt5)^2}=\sqrt5-2.$$

Równanie jest więc równoważne $|\sqrt5-x|=0$, skąd $x=\sqrt5$.

Korzystamy ze standardowych opisów przedziałowych wartości bezwzględnej.

a) $|x-5|\le4\iff 1\le x\le9$.

b) $|x+4|<5\iff -9<x<1$.

c) $|x-3|\ge2\iff x\le1$ lub $x\ge5$.

d) $|x+2|>3\iff x<-5$ lub $x>1$.

e) $|x-6|<4\iff 2<x<10$.

f) $|x-2|>3\iff x<-1$ lub $x>5$.

a)

$$x=\frac{\frac23-\frac5{12}}{\frac14-\frac3{16}} =\frac{1/4}{1/16}=4.$$

Ponadto

$$y=3^{1/2+2/3-1/6}=3.$$

Liczba $y$ stanowi zatem $\frac34\cdot100\%=75\%$ liczby $x$.

b) Po zebraniu potęg podstaw $3$ i $5$ otrzymujemy

$$x=3^{-1}5^{-1/3}\cdot3\cdot5^{-2/3}=\frac15.$$

Natomiast

$$y=\left(\frac23\right)^{-3} \left(\frac{\sqrt2}{3}\right)^2 =\frac{27}{8}\cdot\frac29=\frac34.$$

Stąd $\frac yx\cdot100\%=\frac{15}{4}\cdot100\%=375\%$.

Z warunku $0{,}21a=0{,}12b$ otrzymujemy

$$\frac ba=\frac{21}{12}=\frac74=1{,}75.$$

Liczba $b$ jest więc równa $175\%$ liczby $a$, czyli jest od niej większa o $75\%$.

Rozwijamy ułamki i patrzymy na pierwszą odrzuconą cyfrę.

a) $\frac{85}{6}=14{,}1666\ldots\approx14{,}167$; wynik jest przybliżeniem z nadmiarem.

b) $\frac{85}{8}=10{,}625$; zapis jest dokładny.

c) $\frac{62}{33}=1{,}878787\ldots\approx1{,}879$; wynik jest przybliżeniem z nadmiarem.

d) $\frac{11}{111}=0{,}099099\ldots\approx0{,}099$; wynik jest przybliżeniem z niedomiarem.

Korzystamy z podanego przybliżenia $10^{1{,}25}\approx17{,}7828$.

a)

$$10^{0{,}25}=\frac{10^{1{,}25}}{10}\approx1{,}77828 \approx1{,}7783.$$

b)

$$10^{13/4}=10^{1{,}25}\cdot10^2\approx1778{,}28.$$

c)

$$10^{-7/4}=10^{1{,}25}\cdot10^{-3}\approx0{,}0177828 \approx0{,}01778.$$