MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 195

Sprowadzamy wszystkie czynniki do potęg wspólnej podstawy.

a) $0{,}125=2^{-3}$ i $32=2^5$, więc

$$(2^{-3})^3(2^5)^{-2}=2^{-9-10}=2^{-19}.$$

b) $\frac1{27}=3^{-3}$, $81=3^4$ i $3{,}25=\frac{13}{4}$, zatem

$$(3^{-3})^5:(3^4)^{13/4}=3^{-15}:3^{13}=3^{-28}.$$

c) $0{,}4=\frac25$, a $2{,}5=(\frac25)^{-1}$, więc

$$\left(\frac25\right)^7\left(\frac25\right)^4: \left(\frac25\right)^5=\left(\frac25\right)^6.$$

d) $0{,}64=(\frac45)^2$, stąd

$$\left(\frac45\right)^{10}:\left(\frac45\right)^{-4} \left(\frac45\right)^{-2}=\left(\frac45\right)^{12}.$$

e) Wyrażenie ma wartość

$$2^{1/2+1/3-3/2}=2^{-2/3}=(\sqrt[3]2)^{-2}.$$

f) Otrzymujemy

$$(3^2)^{2/3}(3^6)^{1/4}=3^{17/6}=(\sqrt[6]3)^{17}.$$

Obliczamy potęgi i wyłączamy wspólne czynniki.

a)

$$\frac{5^4(5^2+20)}{2\cdot5^6-100\cdot5^3} =\frac{28125}{18750}=\frac32.$$

b)

$$\frac{6\cdot16-8\cdot64}{2\cdot64-5\cdot64} =\frac{-416}{-192}=\frac{13}{6}.$$

c) Licznik jest równy $2\cdot\frac52+\frac72=\frac{17}{2}$, a mianownik $\frac14(9-1)=2$, więc wynik to $\frac{17}{4}$.

d) Licznik wynosi $\frac74+\frac12\cdot\frac32=\frac52$, a mianownik $\frac{37}{12}-3\cdot\frac49=\frac74$. Iloraz wynosi $\frac{10}{7}$.

e) Licznik to $2+\frac23=\frac83$, natomiast mianownik

$$\left(\frac32\right)^{-2}\left(\frac94-\frac74\right) =\frac49\cdot\frac12=\frac29.$$

Zatem wynik wynosi $12=\frac{12}{1}$.

f) Licznik upraszcza się do $(\frac3{10})^7(\frac{10}{3})^5=\frac9{100}$, a mianownik do $\frac14(1+2)=\frac34$. Otrzymujemy $\frac3{25}$.

Stosujemy prawa działań na potęgach liczby $10$.

a) $6\cdot5{,}5\cdot10^{15}=3{,}3\cdot10^{16}$.

b) $\frac48\cdot10^{5-(-6)}=5\cdot10^{10}$.

c) $(1{,}25\cdot10^{-5})(4\cdot10^{-5})=5\cdot10^{-10}$.

d) $\frac{2{,}7\cdot10^{-6}}{9\cdot10^{-5}}=3\cdot10^{-2}$.

e)

$$\sqrt{0{,}81\cdot0{,}0004}=\sqrt{0{,}000324} =0{,}018=1{,}8\cdot10^{-2}.$$

f)

$$\sqrt{245:0{,}0005}=\sqrt{490000}=700=7\cdot10^2.$$

Upraszczamy obie strony każdej równości.

a) $3\sqrt3+12\sqrt3-15\sqrt3=0$, więc równość jest prawdziwa.

b) $\sqrt{48}+\sqrt{12}=6\sqrt3\ne5\sqrt2=\sqrt{50}$, więc równość jest fałszywa.

c) $\sqrt[3]3+2\sqrt[3]3-3\sqrt[3]3=0$, więc równość jest prawdziwa.

d)

$$(7\cdot2\sqrt3-4\sqrt3)\cdot5\sqrt3 =10\sqrt3\cdot5\sqrt3=150,$$

zatem równość jest prawdziwa.

e) Licznik jest równy $2\sqrt6-5\sqrt6+3\sqrt6=0$, więc równość jest prawdziwa.

f)

$$\sqrt[3]{-\frac{49}{6}}:\sqrt[3]{-\frac{36}{7}} =\sqrt[3]{\frac{343}{216}}=\frac76=1\frac16,$$

więc równość jest prawdziwa.

Korzystamy ze wzorów skróconego mnożenia.

a) $(3\sqrt2)^2-4^2=18-16=2$.

b) $3^2-(2\sqrt5)^2=9-20=-11$.

c) $(2+\sqrt3)^2=7+4\sqrt3$, więc iloczyn z $7-4\sqrt3$ jest równy $49-48=1$.

d) $(1-2\sqrt2)^2=9-4\sqrt2$, zatem iloczyn z $9+4\sqrt2$ wynosi $81-32=49$.

e) Różnica kwadratów daje

$$[(3+\sqrt7)-(3-\sqrt7)]\,[(3+\sqrt7)+(3-\sqrt7)]=12\sqrt7.$$

f) Pierwszy kwadrat jest równy $11-4\sqrt6$, a drugi $14+4\sqrt6$. Ich suma wynosi $25$.

Mnożymy licznik i mianownik przez wyrażenie sprzężone.

a)

$$\frac2{\sqrt5-2}\cdot\frac{\sqrt5+2}{\sqrt5+2} =2\sqrt5+4.$$

b)

$$\frac{\sqrt7}{3+\sqrt7}\cdot\frac{3-\sqrt7}{3-\sqrt7} =\frac{3\sqrt7-7}{2}.$$

c)

$$\frac{\sqrt6}{\sqrt3-\sqrt2}(\sqrt3+\sqrt2) =\sqrt{18}+\sqrt{12}=3\sqrt2+2\sqrt3.$$

d)

$$\frac{5-\sqrt3}{1+\sqrt3}\cdot\frac{1-\sqrt3}{1-\sqrt3} =\frac{8-6\sqrt3}{-2}=3\sqrt3-4.$$

Podstawiamy $x=2-\sqrt5$ i $y=1+3\sqrt5$.

a) $3x+y=6-3\sqrt5+1+3\sqrt5=7$.

b)

$$xy=(2-\sqrt5)(1+3\sqrt5)=-13+5\sqrt5.$$

c) Po rozszerzeniu przez $2+\sqrt5$ otrzymujemy

$$\frac{1+3\sqrt5}{2-\sqrt5} =-\,(1+3\sqrt5)(2+\sqrt5)=-17-7\sqrt5.$$

d) Licznik jest równy $7\sqrt5$, a mianownik $5+\sqrt5$. Zatem

$$\frac{7\sqrt5}{5+\sqrt5} =\frac{7\sqrt5(5-\sqrt5)}{20} =-\frac74+\frac74\sqrt5.$$

a) Liczba $3-\sqrt3$ jest dodatnia, a jej kwadrat wynosi

$$(3-\sqrt3)^2=12-6\sqrt3=12-3\sqrt{12}.$$

Jest więc głównym pierwiastkiem prawej strony i równość jest prawdziwa.

b) Mamy

$$5-2\sqrt6=(\sqrt3-\sqrt2)^2.$$

Pierwiastek główny jest zatem równy $\sqrt3-\sqrt2>0$, natomiast $\sqrt2-\sqrt3<0$. Równość jest fałszywa.