MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 185

Przez wierzchołek $A$ trójkąta $ABC$ prowadzimy prostą równoległą do $BC$. Kąty, które boki $AB$ i $AC$ tworzą z tą prostą, są odpowiednio równe kątom przy $B$ i $C$ (kąty naprzemianległe).

Te dwa kąty oraz kąt $BAC$ tworzą przy punkcie $A$ kąt półpełny. Ich suma jest więc równa $180^\circ$, czyli

$$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ.$$

Oznaczmy miary dwóch sąsiednich kątów równoległoboku przez $\alpha$ i $\beta$. Ponieważ są to kąty wewnętrzne po tej samej stronie siecznej,

$$\alpha+\beta=180^\circ.$$

Kąt utworzony przez ich dwusieczne ma miarę

$$\frac\alpha2+\frac\beta2 =\frac{\alpha+\beta}{2}=90^\circ.$$

Dwusieczne przecinają się zatem pod kątem prostym.

Niech $O$ będzie środkiem okręgu opisanego na trójkącie $ABC$ i zarazem środkiem boku $BC$. Mamy

$$OA=OB=OC,$$

bo wszystkie trzy odcinki są promieniami okręgu. Oznaczmy $\angle ABO=\alpha$ i $\angle ACO=\beta$. Trójkąty $AOB$ i $AOC$ są równoramienne, więc

$$\angle BAO=\alpha,\qquad \angle OAC=\beta.$$

Suma kątów trójkąta $ABC$ daje $2\alpha+2\beta=180^\circ$. Stąd

$$\angle BAC=\alpha+\beta=90^\circ.$$

W obu podpunktach $D,D_1$ są środkami odpowiednich boków, a $|AD|=|A_1D_1|$.

a) Z $|BC|=|B_1C_1|$ wynika $|BD|=|B_1D_1|$ i $|CD|=|C_1D_1|$. Trójkąty $ABD$ i $A_1B_1D_1$ są przystające na mocy BBB, zatem $\angle ADB=\angle A_1D_1B_1$. Kąty $ADC$ i $A_1D_1C_1$ są do nich przyległe, więc także są równe. Trójkąty $ADC$ i $A_1D_1C_1$ są przystające na mocy BKB. Stąd $|AC|=|A_1C_1|$.

b) Z równości kątów $ADB$ i $A_1D_1B_1$ wynika równość ich kątów przyległych $ADC$ i $A_1D_1C_1$. Wraz z założeniem $\angle CAD=\angle C_1A_1D_1$ daje to podobieństwo trójkątów $ACD$ i $A_1C_1D_1$. Ponieważ odpowiadające boki $AD,A_1D_1$ są równe, skala podobieństwa wynosi $1$, więc $CD=C_1D_1$. Zatem także $BD=B_1D_1$. Trójkąty $ADB$ i $A_1D_1B_1$ są przystające na mocy BKB, co daje $|AB|=|A_1B_1|$.