MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 184

a) Różnica lewej i prawej strony wynosi

$$(x-y)^2+2x^2+8-4x(2-y) =(x+y)^2+2(x-2)^2\geqslant0.$$

b) Po rozwinięciu i przeniesieniu prawej strony otrzymujemy

$$x^2+xy+y^2+4x+6.$$

To wyrażenie jest zawsze dodatnie, ponieważ

$$x^2+xy+y^2+4x+6 =\left(\frac x2+y\right)^2 +\frac34\left(x+\frac83\right)^2+\frac23>0.$$

a) Różnica lewej i prawej strony jest równa

$$x^2+y^2-xy-x-y+1 =\frac12\left((x-y)^2+(x-1)^2+(y-1)^2\right)\geqslant0.$$

b) Po przeniesieniu prawej strony na lewą mamy

$$2x^2y^2+x^2+y^2-6xy+2 =2(xy-1)^2+(x-y)^2\geqslant0.$$

Ponieważ $a,b>0$ i $a+b=\frac12$, z nierówności między średnimi wynika

$$\sqrt{ab}\leqslant\frac{a+b}{2}=\frac14,$$

a więc $ab\leqslant\frac1{16}$. To dowodzi a).

b) Korzystając z części a),

$$\frac1a+\frac1b=\frac{a+b}{ab}=\frac1{2ab}\geqslant8.$$

c) Ponieważ $4a+4b=2$, teza jest równoważna nierówności

$$\frac1{2ab}\geqslant6+4a+4b=8,$$

która została wykazana w części b).

a) Dla $a,b>0$ i $ab=4$ nierówność między średnimi daje

$$a+b\geqslant2\sqrt{ab}=4.$$

b) Z $a+b=1$ otrzymujemy

$$a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)=1-3ab.$$

Nierówność $a^3+b^3\geqslant ab$ jest zatem równoważna $ab\leqslant\frac14$. Ta ostatnia zachodzi, bo

$$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab=1-4ab\geqslant0.$$

a) Jeżeli $ab=16$, to $a+b\geqslant2\sqrt{ab}=8$. Zatem

$$(1+a)(1+b)=1+a+b+ab=17+a+b\geqslant25.$$

b) Jeżeli $ab=\frac14$, to $a+b\geqslant2\sqrt{ab}=1$. Wobec tego

$$4(1+a)(1+b)=4\left(1+a+b+\frac14\right) =5+4(a+b)\geqslant9.$$

a) Różnica prawej i lewej strony ma postać

$$a^2(b+1)-b^2(a+1)=(a-b)(ab+a+b).$$

Oba czynniki są nieujemne, gdy $a\geqslant b>0$, więc teza zachodzi.

b) Z $a^2+b^2=1$ wynika

$$a^2b^2\leqslant\left(\frac{a^2+b^2}{2}\right)^2=\frac14.$$

Ponadto

$$\left(1+\frac1{a^2}\right)\left(1+\frac1{b^2}\right) =1+\frac2{a^2b^2}\geqslant1+8=9,$$

gdzie wykorzystaliśmy $a^2+b^2=1$.

Dla krawędzi $a,b,c>0$ zachodzi

$$2ab\leqslant a^2+b^2, \quad 2ac\leqslant a^2+c^2, \quad 2bc\leqslant b^2+c^2.$$

Po dodaniu tych nierówności dostajemy

$$(a+b+c)^2\leqslant3(a^2+b^2+c^2).$$

Z twierdzenia Pitagorasa dla przekątnej prostopadłościanu $d^2=a^2+b^2+c^2$. Obie strony są dodatnie, więc

$$a+b+c\leqslant\sqrt3\,d.$$