Cała strona · Podręcznik · szkoła średnia

MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 183

rozdział 4. Przyklady dowodow w matematyce · temat „4.2. Dowody w algebrze (2)” · 4 zadania z rozwiązaniem

Rozwiązania: opracowanie własne

Zadanie 1

3 podpunkty

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Niech $x>0$ .

x+\frac4x-4=\frac{(x-2)^2}{x}\geqslant0.

b) Po podstawieniu $t=\sqrt{x}>0$ mamy

4+\frac1x-\frac4{\sqrt{x}} =4+\frac1{t^2}-\frac4t =\frac{(2t-1)^2}{t^2}\geqslant0.

\frac1{x^5}+\frac9x-\frac6{x^3} =\frac{1+9x^4-6x^2}{x^5} =\frac{(3x^2-1)^2}{x^5}\geqslant0.

Odpowiedź

Wszystkie trzy nierówności są prawdziwe dla każdego $x>0$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu

3 podpunkty

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Niech $a,b>0$ .

\frac{(a+b)^2}{ab}-4=\frac{(a-b)^2}{ab}\geqslant0.

\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}-a-b =\frac{(a+b)(a-b)^2}{ab}\geqslant0.

\frac1a+\frac1b-\frac4{a+b} =\frac{(a+b)^2-4ab}{ab(a+b)} =\frac{(a-b)^2}{ab(a+b)}\geqslant0.

Odpowiedź

Wszystkie trzy nierówności są prawdziwe dla dowolnych $a,b>0$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu

2 podpunkty

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) Różnica lewej i prawej strony jest równa

x^4-x^2-6x+10 =(x^2-2)^2+3(x-1)^2+3>0.

b) Analogicznie

x^4-4x^2-4x+17 =(x^2-3)^2+2(x-1)^2+6>0.

Obie sumy są dodatnie dla każdego $x\in\mathbb R$ , więc podane nierówności są prawdziwe.

Odpowiedź

a) $(x^2-2)^2+3(x-1)^2+3>0$ . b) $(x^2-3)^2+2(x-1)^2+6>0$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu

2 podpunkty

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) Po przeniesieniu prawej strony na lewą otrzymujemy

x^2+10y^2+9-6y(x+1) =(x-3y)^2+(y-3)^2\geqslant0.

b) Podobnie

3x^2+y^2-2xy-2x+\frac12 =(y-x)^2+2\left(x-\frac12\right)^2\geqslant0.

Odpowiedź

a) Teza wynika z $(x-3y)^2+(y-3)^2\geqslant0$ . b) Teza wynika z $(y-x)^2+2(x-\frac12)^2\geqslant0$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu