MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 182

a) Ponieważ $ab>0$, możemy pomnożyć nierówność przez $ab$ bez zmiany jej zwrotu. Równoważnie

$$\frac ab+\frac ba-2 =\frac{a^2-2ab+b^2}{ab} =\frac{(a-b)^2}{ab}\geqslant0.$$

b) Tym razem $ab<0$. Mamy

$$\frac ab+\frac ba+2 =\frac{a^2+2ab+b^2}{ab} =\frac{(a+b)^2}{ab}\leqslant0,$$

bo licznik jest nieujemny, a mianownik ujemny. Stąd $\frac ab+\frac ba\leqslant-2$.

a) Przenosimy prawą stronę na lewą:

$$a^2-4b(a-b)=a^2-4ab+4b^2=(a-2b)^2\geqslant0.$$

b) Wystarczy wykazać, że różnica prawej i lewej strony jest nieujemna. Istotnie,

$$2(b-a)(b+a)-a(6b-7a) =5a^2-6ab+2b^2 =(a-b)^2+(2a-b)^2\geqslant0.$$