MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 181

Niech $n\ge3$ i rozważmy liczbę

$N=n!-1.$

Mamy $N\ge5$, więc $N$ ma co najmniej jeden dzielnik pierwszy $p$. Gdyby $p\le n$, to jako liczba pierwsza należąca do zbioru $\{2,3,\ldots,n\}$ dzieliłaby $n!$. Jednocześnie $p\mid(n!-1)$, a zatem dzieliłaby różnicę

$n!-(n!-1)=1,$

co jest niemożliwe. Stąd $p>n$. Ponadto

$p\le N=n!-1<n!.$

Zatem istnieje liczba pierwsza $p$ spełniająca $n<p<n!$.