MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 180

a) Dane liczby mają postać $3k_1+2$, $3k_2+2$, $3k_3+2$. Ich suma wynosi

=3(k_1+k_2+k_3+2),$$ więc jest podzielna przez $3$. **b)** W tym przypadku liczby mają postać $6k_1+4$, $6k_2+4$, $6k_3+4$. Ich suma to $$6(k_1+k_2+k_3)+12 =6(k_1+k_2+k_3+2),$$ więc jest podzielna przez $6$.

Niech $n>0$.

a) Wyłączamy $3^{n-1}$:

=3^{n-1}(3^2+3+1) =13\cdot3^{n-1}.$$ Liczba jest więc podzielna przez $13$. **b)** Zapisujemy obie potęgi przy podstawie $2$: $$8^{2n-1}+4^{3n-1} =2^{6n-3}+2^{6n-2} =3\cdot2^{6n-3}.$$ Dla $n\ge1$ mamy $6n-3\ge3$, więc czynnik $2^{6n-3}$ jest podzielny przez $8$. Całe wyrażenie jest zatem podzielne przez $3\cdot8=24$.

a) Przekształcamy wyrażenie:

=\frac{n^2(n+1)^2}{4} =\left(\frac{n(n+1)}2\right)^2.$$ Jedna z kolejnych liczb $n,n+1$ jest parzysta, więc $\frac{n(n+1)}2$ jest liczbą naturalną. Jej kwadrat również jest naturalny. **b)** Mamy $$\frac{n^3}{8}-\frac n8 =\frac{n(n-1)(n+1)}8.$$ Gdy $n$ jest nieparzyste, obie liczby $n-1$ i $n+1$ są parzyste, a jedna z nich jest podzielna przez $4$. Ich iloczyn jest więc podzielny przez $8$, zatem podany iloraz jest liczbą naturalną.

a) Jeśli reszta z dzielenia $n$ przez $5$ wynosi $4$, to $n\equiv-1\pmod5$. Zatem

$n^2-1\equiv(-1)^2-1\equiv0\pmod5,$

więc liczba $n^2-1$ jest podzielna przez $5$.

b) Liczba niepodzielna przez $5$ ma modulo $5$ jedną z reszt $1,2,3,4$. Dla reszt $1$ i $4$ zachodzi $n^2\equiv1\pmod5$, więc $n^2-1$ jest podzielne przez $5$. Dla reszt $2$ i $3$ zachodzi $n^2\equiv4\equiv-1\pmod5$, więc $n^2+1$ jest podzielne przez $5$.

a) Jeśli $n$ nie jest podzielne przez $3$, to $n\equiv1$ albo $n\equiv-1\pmod3$. W obu przypadkach

$n^2\equiv1\pmod3,$

czyli reszta z dzielenia $n^2$ przez $3$ wynosi $1$.

b) Kwadrat każdej z trzech liczb niepodzielnych przez $3$ daje resztę $1$ modulo $3$. Suma ich kwadratów daje więc resztę

$1+1+1\equiv0\pmod3,$

a zatem jest podzielna przez $3$.

a) Rozpatrzmy parzystość $n$. Gdy $n=2k$, mamy

$n^2+6n+2=4k^2+12k+2=4(k^2+3k)+2,$

więc reszta z dzielenia przez $4$ wynosi $2$. Gdy $n=2k+1$, mamy

$n^2+6n+2=4k^2+16k+9=4(k^2+4k+2)+1,$

więc reszta wynosi $1$. W żadnym przypadku liczba nie jest podzielna przez $4$.

b) Możliwe reszty $n$ modulo $3$ to $0,1,2$. Odpowiednie reszty wyrażenia $n^2+n+2$ wynoszą

$2,\quad1^2+1+2\equiv1,\quad2^2+2+2\equiv2\pmod3.$

Żadna nie jest równa $0$, więc wyrażenie nie jest podzielne przez $3$ dla żadnego $n\in\mathbb N$.