MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 179

Niech dane liczby będą równe $3a$ i $3b$, gdzie $a,b\in\mathbb N$.

a) Różnica ich kwadratów ma postać

$(3a)^2-(3b)^2=9(a^2-b^2),$

więc jest podzielna przez $9$.

b) Suma ich sześcianów ma postać

$(3a)^3+(3b)^3=27(a^3+b^3),$

więc jest podzielna przez $27$.

Skoro pierwsza z trzech kolejnych liczb jest parzysta, liczby te mają postać

$2k,\quad 2k+1,\quad 2k+2.$

Ich iloczyn można zapisać jako

$(2k)(2k+1)(2k+2)=4k(k+1)(2k+1).$

Iloczyn $k(k+1)$ jest parzysty, więc całe wyrażenie jest podzielne przez $8$. Ponadto wśród każdych trzech kolejnych liczb jedna jest podzielna przez $3$. Iloczyn jest zatem podzielny jednocześnie przez względnie pierwsze liczby $8$ i $3$, czyli przez $24$.

a) Wśród pięciu kolejnych liczb znajduje się wielokrotność $5$ oraz wielokrotność $3$. Znajduje się też wielokrotność $4$ i jeszcze co najmniej jedna liczba parzysta, więc ich iloczyn zawiera czynnik $4\cdot2=8$. Ponieważ liczby $3,5,8$ są parami względnie pierwsze, cały iloczyn jest podzielny przez

$3\cdot5\cdot8=120.$

b) Trzy kolejne liczby naturalne można zapisać jako $n-1,n,n+1$. Suma ich sześcianów jest równa

=3n^3+6n=3n(n^2+2),$$ zatem jest podzielna przez $3$.

a) Wyłączamy wspólną potęgę liczby $7$:

=7^{75}(7^2-6\cdot7+12) =7^{75}(49-42+12) =19\cdot7^{75}.$$ Liczba jest więc podzielna przez $19$. **b)** Ponieważ $5^{64}=(5^2)^{32}=25^{32}$, mamy $$32^{32}-5^{64}=32^{32}-25^{32}.$$ Różnica jednakowych potęg $a^{32}-b^{32}$ jest podzielna przez $a-b$. Tutaj $32-25=7$, więc rozpatrywana liczba jest podzielna przez $7$.

a) Z założenia $n=6k+5$ dla pewnego $k\in\mathbb N$. Wówczas

=36k^2+60k+25 =6(6k^2+10k+4)+1.$$ Reszta z dzielenia $n^2$ przez $6$ jest więc równa $1$. **b)** Dla $i\in\{1,2,3\}$ istnieje $k_i\in\mathbb N$ takie, że $n_i=6k_i+4$. Wtedy $$n_i^2=(6k_i+4)^2 =12(3k_i^2+4k_i+1)+4.$$ Zatem $$n_1^2+n_2^2+n_3^2 =12\bigl(3\sum k_i^2+4\sum k_i+4\bigr),$$ czyli suma jest podzielna przez $12$.