MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 178

Dla każdej liczby całkowitej $k$ liczby $k$ i $k^2$ mają tę samą parzystość, ponieważ

$k^2-k=k(k-1)$

jest liczbą parzystą. Zatem dla danych liczb naturalnych $a,b,c$ zachodzi

$a^2+b^2+c^2\equiv a+b+c\pmod 2.$

Skoro suma $a+b+c$ jest nieparzysta, to jej reszta modulo $2$ wynosi $1$. Taką samą resztę ma suma $a^2+b^2+c^2$, a więc również jest nieparzysta.

a) Rozkładamy wyrażenie:

=n(n-1)(n+1)(n^2+1).$$ Iloczyn trzech kolejnych liczb $n-1,n,n+1$ jest podzielny przez $2$ i przez $3$, a zatem przez $6$. Całe wyrażenie także jest podzielne przez $6$. **b)** Mamy $$n^6-2n^4+n^2=n^2(n^2-1)^2 =\bigl(n(n-1)(n+1)\bigr)^2.$$ Jak wyżej, liczba $n(n-1)(n+1)$ jest podzielna przez $6$. Jej kwadrat jest więc podzielny przez $6^2=36$.