MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 176

Sześcian opisany na kuli o promieniu $3$ ma krawędź równą średnicy kuli, czyli $6$, oraz objętość

$V_o=6^3=216.$

W sześcianie wpisanym w tę kulę przekątna przestrzenna jest średnicą kuli. Jeśli $a$ jest jego krawędzią, to

$a\sqrt3=6,\qquad a=2\sqrt3,$

więc

$V_w=(2\sqrt3)^3=24\sqrt3.$

Szukana różnica jest równa

$V_o-V_w=216-24\sqrt3=24(9-\sqrt3).$

Niech promień podstawy walca będzie równy $r$. Jego średnica jest połową wysokości, więc $h=4r$. Z objętości walca

$\pi r^2\cdot4r=32\pi$

otrzymujemy $r=2$ i $h=8$. Promień kuli opisanej na walcu jest połową przekątnej jego przekroju osiowego:

=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt5.$$ Zatem $$V_k=\frac43\pi R^3 =\frac43\pi(2\sqrt5)^3 =\frac{160\sqrt5\pi}{3}.

Krótsze ramię trapezu prostokątnego jest jego wysokością i zarazem osią obrotu. Różnica długości podstaw wynosi $a$. Z kąta ostrego $\alpha$ otrzymujemy wysokość trapezu

$H=a\tan\alpha.$

Po obrocie powstaje stożek ścięty o promieniach podstaw $a$ i $2a$ oraz wysokości $H$. Jego objętość wynosi

$$=\frac13\pi\cdot a\tan\alpha\cdot7a^2 =\frac{7\pi a^3\tan\alpha}{3}.$$

Niech $x$ będzie wysokością graniastosłupa. Na wysokości $x$ od podstawy promień przekroju stożka wynosi, z podobieństwa,

$q=r\left(1-\frac{x}{h}\right).$

Jest to promień okręgu opisanego na równobocznej podstawie graniastosłupa. Pole tej podstawy wynosi więc

$P=\frac{3\sqrt3}{4}q^2.$

Po wprowadzeniu $t=\frac{x}{h}\in[0,1]$ objętość ma postać

$V(t)=\frac{3\sqrt3}{4}r^2h\,t(1-t)^2.$

Ponieważ

$\bigl(t(1-t)^2\bigr)'=(1-t)(1-3t),$

największa wartość dla $0\le t\le1$ jest osiągana przy $t=\frac13$ i wynosi $\frac4{27}$. Zatem

=\frac{\sqrt3}{9}hr^2.$$

Niech przekrój osiowy stożka ma bok $s$. Z warunku

$\frac{s^2\sqrt3}{4}=9\sqrt3$

wynika $s=6$, więc promień i wysokość stożka są równe odpowiednio $R=3$ i $H=3\sqrt3$.

Niech boki podstawy prostopadłościanu mają długości $a$ i $2a$, a jego wysokość niech będzie równa $x$. Promień okręgu opisanego na tej prostokątnej podstawie wynosi $q=\frac{a\sqrt5}{2}$, zatem jej pole jest równe

$2a^2=\frac85q^2.$

Na wysokości $x$ przekrój stożka ma promień $q=R\left(1-\frac{x}{H}\right)$. Po oznaczeniu $t=\frac{x}{H}$ dostajemy

$V(t)=\frac85R^2H\,t(1-t)^2.$

Funkcja $t(1-t)^2$ przyjmuje na $[0,1]$ maksimum $\frac4{27}$ dla $t=\frac13$. Wobec tego

$$=\frac{32\sqrt3}{5}.$$

Cały stożek ma objętość

$V=\frac13\pi\cdot3^2\cdot4=12\pi.$

Promień przekroju wynosi $2$, więc mały stożek odcięty przy wierzchołku jest podobny do całego w skali $\frac23$. Jego objętość jest równa

=\frac{32\pi}{9}.$$ Objętość pozostałego stożka ściętego wynosi $$V_2=12\pi-\frac{32\pi}{9}=\frac{76\pi}{9}.

Niech $r$ oznacza promień podstawy, a $l$ tworzącą stożka. Z warunku

=\frac{l}{l+r}=\frac23$$ otrzymujemy $l=2r$. Jeśli $\alpha$ jest kątem między wysokością a tworzącą, to w połówce przekroju osiowego $$\sin\alpha=\frac rl=\frac12,$$ zatem $\alpha=30^\circ$.

Ze wspólnego wprowadzenia do zadania 8 odczytujemy wymiary prostopadłościanu: $6\times8\times24$. Jego przekątna przestrzenna ma długość

$d=\sqrt{6^2+8^2+24^2}=\sqrt{676}=26.$

Promień kuli opisanej jest połową tej przekątnej, więc

$R=\frac d2=13.$

Ze wspólnego wprowadzenia do zadania 8 prostopadłościan ma wymiary $6\times8\times24$. Wszystkich nieuporządkowanych par jego ośmiu wierzchołków jest

$\binom82=28.$

Odcinki dłuższe niż $25$ to cztery przekątne ścian o wymiarach $8\times24$, każda długości

$\sqrt{8^2+24^2}=8\sqrt{10}>25,$

oraz cztery przekątne przestrzenne długości $26$. Przekątne ścian $6\times24$ mają długość $6\sqrt{17}<25$, a pozostałe odcinki również nie przekraczają $25$. Zdarzeń sprzyjających jest więc $8$, zatem

$P=\frac8{28}=\frac27.$