MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 175

Niech promień podstawy walca będzie równy $r$. Kwadratowy przekrój osiowy ma szerokość $2r$, zatem wysokość walca także wynosi $h=2r$. Stąd

$P_c=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi r^2+4\pi r^2=6\pi r^2,$

$P_b=2\pi rh=4\pi r^2.$

Wobec tego

$\frac{P_c}{P_b}=\frac{6\pi r^2}{4\pi r^2}=\frac32.$

Oznaczmy promień podstawy przez $r$, tworzącą przez $l$, a wysokość przez $h$. Średnica jest dwa razy krótsza od tworzącej, więc

$2r=\frac l2,\qquad l=4r.$

Z twierdzenia Pitagorasa w przekroju osiowym

$h=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{16r^2-r^2}=r\sqrt{15}.$

Jeśli $\alpha$ jest kątem nachylenia tworzącej do płaszczyzny podstawy, to

$$$$

Niech $a$ będzie bokiem równobocznego przekroju osiowego. Z warunku

$\frac{a^2\sqrt3}{4}=9\sqrt3$

otrzymujemy $a=6\ \mathrm{cm}$. Średnica podstawy stożka jest równa $a$, zatem $r=3\ \mathrm{cm}$, a wysokość stożka jest wysokością trójkąta równobocznego:

$h=\frac{a\sqrt3}{2}=3\sqrt3\ \mathrm{cm}.$

Objętość wynosi

=\frac13\pi\cdot9\cdot3\sqrt3 =9\sqrt3\pi\ \mathrm{cm}^3.$$

Niech $R$ będzie promieniem szukanej kuli. Równość pól powierzchni daje

$4\pi R^2=4\pi\cdot3^2+4\pi\cdot6^2,$

czyli

$R^2=9+36=45,\qquad R=3\sqrt5\ \mathrm{cm}.$

Zatem

=\frac43\pi(3\sqrt5)^3 =180\sqrt5\pi\ \mathrm{cm}^3.$$

Szklanka ma promień $3\ \mathrm{cm}$ i wysokość $8\ \mathrm{cm}$, więc jej pojemność jest równa

$V_s=\pi\cdot3^2\cdot8=72\pi\ \mathrm{cm}^3.$

Każdy karton ma objętość

$10\cdot8\cdot15=1200\ \mathrm{cm}^3,$

a dwa kartony zawierają $2400\ \mathrm{cm}^3$ soku. Liczba pełnych szklanek wynosi

=\left\lfloor\frac{100}{3\pi}\right\rfloor=10.$$

Niech $r>0$ będzie promieniem podstawy stożka, a $l$ jego tworzącą. W stożku o dodatniej wysokości

$l=\sqrt{r^2+h^2}>r.$

Pola powierzchni bocznej i całkowitej są równe

$P_b=\pi rl,\qquad P_c=\pi rl+\pi r^2=\pi r(l+r).$

Zatem

$\frac{P_b}{P_c}=\frac{l}{l+r}>\frac12,$

ponieważ nierówność ta jest równoważna $l>r$. Pole boczne stanowi więc więcej niż $50\%$ pola całkowitego.

Wysokość trójkąta równobocznego o boku $12\ \mathrm{cm}$ wynosi

$r=\frac{12\sqrt3}{2}=6\sqrt3\ \mathrm{cm}.$

Po obrocie wokół boku powstają dwa stożki o wspólnej podstawie promienia $r$. Suma ich wysokości jest równa długości osi obrotu, czyli $12\ \mathrm{cm}$. Ich łączna objętość wynosi więc

=\frac13\pi(6\sqrt3)^2\cdot12 =432\pi\ \mathrm{cm}^3.$$

Płaszczyzny dzielą ustalony promień długości $6\ \mathrm{cm}$ na odcinki długości $2\ \mathrm{cm}$, więc ich odległości od środka kuli wynoszą $2\ \mathrm{cm}$ i $4\ \mathrm{cm}$. Dla przekroju kołowego w odległości $d$ od środka promień $q$ spełnia

$q^2=6^2-d^2.$

Suma pól przekrojów jest zatem równa

=32\pi+20\pi=52\pi\ \mathrm{cm}^2.$$

Niech $x$ oznacza odległość płaszczyzny od wierzchołka ostrosłupa. Odcina ona ostrosłup podobny do wyjściowego w skali $\frac{x}{8}$. Skoro dwa powstałe wielościany mają równe objętości, to objętość małego ostrosłupa jest połową objętości całej bryły:

$\left(\frac{x}{8}\right)^3=\frac12.$

Stąd

$$$$