MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 174

Po obrocie wokół boku długości $4$ otrzymujemy walec o promieniu $6$ i wysokości $4$:

$V_1=\pi\cdot6^2\cdot4=144\pi\ \mathrm{cm}^3.$

Po obrocie wokół boku długości $6$ otrzymujemy walec o promieniu $4$ i wysokości $6$:

$V_2=\pi\cdot4^2\cdot6=96\pi\ \mathrm{cm}^3.$

Różnica wynosi $V_1-V_2=48\pi\ \mathrm{cm}^3$.

Kwadratowy przekrój osiowy ma boki $h=a$ oraz $2r=a$, więc $r=\frac a2$. Pole powierzchni całkowitej wynosi

=2\pi\left(\frac a2\right)^2+2\pi\frac a2\cdot a =\frac32\pi a^2.$$

W równobocznym przekroju osiowym tworząca ma długość $l=12$, a średnica podstawy także $12$, więc $r=6$. Pole powierzchni bocznej stożka jest równe

$P_b=\pi rl=\pi\cdot6\cdot12=72\pi.$

Po rozwinięciu powierzchnia boczna jest półkolem o promieniu $l$. Długość jego łuku wynosi $\pi l$ i jest równa obwodowi podstawy $2\pi r$. Zatem $l=2r$.

Jeśli $\alpha$ jest połową kąta rozwarcia, to

$\sin\alpha=\frac rl=\frac12,$

więc $\alpha=30^\circ$. Kąt rozwarcia ma miarę $2\alpha=60^\circ$.

Trójkąt o bokach $15,20,25$ jest prostokątny. Po obrocie wokół przeciwprostokątnej otrzymujemy dwa stożki o wspólnym promieniu równym wysokości opuszczonej na przeciwprostokątną:

$r=\frac{15\cdot20}{25}=12.$

Suma wysokości obu stożków jest równa $25$. Ich łączna objętość wynosi

=\frac13\pi\cdot144\cdot25 =1200\pi.$$

Z warunku $\pi r^2=36\pi$ wynika $r=6$. Obrót koła wokół średnicy daje kulę o tym samym promieniu, więc

=\frac43\pi\cdot6^3 =288\pi.$$

Pierwszy przekrój jest trójkątem równobocznym o obwodzie $12$, więc jego bok wynosi $4$, a pole

$P_1=\frac{4^2\sqrt3}{4}=4\sqrt3.$

Pole drugiego przekroju wynosi $P_2=16\sqrt3$. Stosunek pól jest równy $4$, a więc skala podobieństwa większego stożka do mniejszego wynosi

$k=\sqrt{\frac{P_2}{P_1}}=2.$

Niech $r$ będzie promieniem podstawy stożka, $l$ jego tworzącą, a $\rho$ promieniem wpisanej kuli. Z warunku

$\pi rl=3\pi r^2$

wynika $l=3r$. Wysokość stożka jest równa

$h=\sqrt{l^2-r^2}=2\sqrt2r.$

Promień wpisanej kuli wynosi

$\rho=\frac{rh}{r+l}=\frac{r}{\sqrt2}.$

Zatem

$V_s=\frac13\pi r^2h=\frac{2\sqrt2}{3}\pi r^3,$

$V_k=\frac43\pi\rho^3=\frac{\sqrt2}{3}\pi r^3,$

więc $V_s:V_k=2:1$.