MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 170

W nierówności $x^2+y^2+z^2\le R^2$ prawa strona jest kwadratem promienia. Stosujemy $P=4\pi R^2$ i $V=\frac43\pi R^3$.

a) $R=3$: $P=36\pi$, $V=36\pi$.

b) $R=\sqrt3$: $P=12\pi$, $V=4\sqrt3\pi$.

c) $R=\sqrt{10}$: $P=40\pi$, $V=\frac{40\sqrt{10}}3\pi$.

Kula o środku w początku układu i promieniu $R$ jest opisana nierównością $x^2+y^2+z^2\le R^2$.

a) Średnica $8$ daje $R=4$, więc $R^2=16$.

b) Z równania $\frac43\pi R^3=972\pi$ otrzymujemy $R^3=729$, czyli $R=9$ i $R^2=81$.

Odległość punktu od początku układu wynosi $r=\sqrt{2^2+2^2+(2\sqrt2)^2}=4.$ Długość rzutu $OP'$ jest równa $\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt2$, zatem $\sin\theta=\frac{2\sqrt2}{4}=\frac{\sqrt2}{2},$ czyli $\theta=\pi/4$. Ponieważ $x=y>0$, kąt rzutu z dodatnią półosią $OX$ jest równy $\varphi=\pi/4$.

Mamy $r=\sqrt{1^2+1^2+(\sqrt6)^2}=2\sqrt2.$ Rzut na płaszczyznę $OXY$ ma długość $\sqrt2$, więc $\sin\theta=\frac{\sqrt6}{2\sqrt2}=\frac{\sqrt3}{2},$ stąd $\theta=\pi/3$. Równe dodatnie współrzędne $x,y$ dają $\varphi=\pi/4$.