MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 171

Niech mniejszy promień będzie równy $r$. Większy wynosi $1{,}5r=3r/2$, a wysokość $h$ jest wspólna. Zatem $\frac{V_1}{V_2}=\frac{\pi(3r/2)^2h}{\pi r^2h}=\frac94.$

Ze skanu odczytujemy średnicę wewnętrzną $4$ cm i grubość ścianki $1$ cm. Promienie wynoszą więc $r=2$ cm i $R=3$ cm, a długość rury $2$ m, czyli $200$ cm. Objętość metalu jest różnicą objętości walców: $V=\pi(R^2-r^2)h=\pi(9-4)\cdot200.$

Boki rozwinięcia powierzchni bocznej to obwód podstawy $2\pi r$ i wysokość $h$. Niezależnie od tego, który z wymiarów $7$ i $5$ jest obwodem, pole przekroju osiowego wynosi $2rh=\frac{(2\pi r)h}{\pi}=\frac{7\cdot5}{\pi}.$

Tworząca ma długość $l=12$. Łuk sektora stanowi $225/360=5/8$ obwodu koła o promieniu $12$, więc $2\pi r=\frac58\cdot2\pi\cdot12=15\pi,$ czyli $r=15/2$. Wysokość stożka wynosi $h=\sqrt{12^2-(15/2)^2}=\frac{3\sqrt{39}}2.$ Podstawiamy do $V=\pi r^2h/3$.

Tworząca ma długość $2$. Łuk ćwiartki koła ma długość $\frac14\cdot2\pi\cdot2=\pi$, więc $2\pi r=\pi$ i $r=1/2$. Pole całkowite jest równe $P_c=\pi r^2+\pi rl=\frac\pi4+\pi.$

Niech stożek ma promień $r$, wysokość $h$ i tworzącą $l$, a walec promień $R$ i wysokość $l$ (tworzące brył są równe). Z równości pól bocznych $\pi rl=2\pi Rl$ wynika $r=2R$. Równość objętości daje $\frac13\pi r^2h=\pi R^2l,$ więc po użyciu $r=2R$ otrzymujemy $l=4h/3$. Zatem $r^2=l^2-h^2=7h^2/9$.

Wysokość $1$ dzieli trójkąt na trójkąty $30^\circ$-$60^\circ$-$90^\circ$. Podstawa ma długość $2\sqrt3$, a ramię $2$.

a) Obrót wokół podstawy daje dwa stożki o promieniu $1$, tworzącej $2$ i łącznej wysokości $2\sqrt3$. Stąd $V=2\sqrt3\pi/3$ i $P_c=4\pi$.

b) Korzystamy z twierdzenia Pappusa. Pole trójkąta wynosi $\sqrt3$, a odległość środka ciężkości od osi będącej ramieniem to $\sqrt3/3$, więc $V=2\pi$. Powierzchnie powstające z pozostałych boków mają pola $6\pi$ oraz $2\sqrt3\pi$.

Oznaczmy dłuższą podstawę przez $B$, krótszą przez $b$, a wysokość przez $h$. Obrót wokół dłuższej podstawy daje objętość $V_B=\frac{\pi h^2}{3}(B+2b),$ a obrót wokół krótszej $V_b=\frac{\pi h^2}{3}(2B+b).$ Z warunku $V_B=0{,}7V_b$ otrzymujemy $10(B+2b)=7(2B+b),$ czyli $4B=13b$.

Z $4\pi R^2=20\pi$ wynika $R=\sqrt5$. Obwód przekroju $2\pi r=2\pi$ daje $r=1$. Promień przekroju, odległość jego środka od środka kuli i promień kuli tworzą trójkąt prostokątny, więc $OS=\sqrt{R^2-r^2}=\sqrt{5-1}=2.$

Mały stożek odcięty nad płaszczyzną jest podobny do całego. Jeśli skala długości wynosi $k$, to jego pole boczne stanowi $k^2$ pola bocznego całego stożka. Równe pola małego stożka i pozostałej części dają $k^2=1/2$, więc $k=1/\sqrt2$. Wysokość małego stożka to $4/\sqrt2=2\sqrt2$.