MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 17

a) Dziewięć różnych osób można ustawić na $9!=362\,880$ sposobów.

b) Dziewczęta zajmują pierwsze cztery miejsca na $4!$ sposobów, a chłopcy pozostałe pięć miejsc na $5!$ sposobów. Zatem jest $4!\cdot5!=2880$ ustawień.

c) Chłopcy zajmują pierwszych sześć miejsc na $6!$ sposobów, a dziewczęta ostatnie trzy na $3!$ sposobów. Otrzymujemy $6!\cdot3!=4320$ ustawień.

Skracamy wspólne silnie i zapisujemy tylko pozostałe czynniki:

a) $\dfrac{8!}{6!}=8\cdot7=56$.

b) $\dfrac{19!}{21!}=\dfrac1{21\cdot20}=\dfrac1{420}$.

c) $\dfrac{15!}{3!\cdot13!}=\dfrac{15\cdot14}{6}=35$.

d) $\dfrac{10!}{7!\cdot3!}=\dfrac{10\cdot9\cdot8}{6}=120$.

e) $\dfrac{9!\cdot4!}{12!}=\dfrac{24}{12\cdot11\cdot10}=\dfrac1{55}$.

f) $\dfrac{100!\cdot10!}{12!\cdot98!} =\dfrac{100\cdot99}{12\cdot11}=75$.

g) $\dfrac{5!}{4!+5!}=\dfrac{5\cdot4!}{4!(1+5)}=\dfrac56$.

h) $\dfrac{5!+6!}{6!-5!}=\dfrac{5!(1+6)}{5!(6-1)}=\dfrac75$.

i) $\dfrac{(n-2)!}{(n-4)!}=(n-2)(n-3)=n^2-5n+6$.

j) $\dfrac{(n+1)!}{(n-1)!}=n(n+1)=n^2+n$.

k)

$$\frac{(n+1)!-n!}{(n-1)!} =\frac{n\cdot n!}{(n-1)!}=n^2.$$

l)

$$\frac{(n-1)!(n+1)!}{(n!)^2} =\frac{n+1}{n}=1+\frac1n.$$

a) Z warunku otrzymujemy

$$(n+1)!-n!=600,qquad n\cdot n!=600.$$

Dla $n=5$ mamy $5\cdot5!=600$. Dla naturalnych $n$ wyrażenie $n\cdot n!$ jest rosnące, więc rozwiązanie jest jedyne.

b) Dzielimy obie strony równości $(n+3)!=120n!$ przez $n!$:

$$(n+1)(n+2)(n+3)=120=4\cdot5\cdot6.$$

Stąd $n=3$.

Rozpatrujemy liczby naturalne, dla których występujące silnie są określone.

a) $(n+2)(n+1)=90=10\cdot9$, więc $n=8$.

b)

$$6!(n+1)!-7!n!=6!n!\big((n+1)-7\big)=0,$$

zatem $n=6$.

c) $(n+2)(n+1)=42=7\cdot6$, więc $n=5$.

d) $(n+3)(n+2)=110=11\cdot10$, więc $n=8$.

e) Po skróceniu silni otrzymujemy $(n-3)(n+1)(n+2)=30$. Dla $n\ge4$ lewa strona jest rosnąca, a dla $n=4$ ma wartość $1\cdot5\cdot6=30$. Stąd $n=4$.

f) Skracamy:

$$\frac{n!(2n-3)!}{(2n)!(n-1)!} =\frac{1}{2(2n-1)(2n-2)}=\frac1{12}.$$

Zatem $(2n-1)(2n-2)=6=3\cdot2$, czyli $n=2$.

a) Dziedzina wymaga $n\ge3$. Skracamy silnie:

$$\frac{(n-1)!}{(n-3)!}=(n-1)(n-2)<12.$$

Dla $n=3$ i $n=4$ otrzymujemy odpowiednio $2$ i $6$. Dla $n=5$ lewa strona jest równa $12$, a dla większych $n$ rośnie. Nierówność spełniają więc dokładnie $n=3$ i $n=4$.

b) Dla $n>1$ mamy

$$\frac{(n+1)!(n-1)!}{(n!)^2}=\frac{n+1}{n}.$$

Nierówność $\frac{n+1}{n}<n$ jest równoważna $n+1<n^2$. Dla naturalnego $n\ge2$ zachodzi

$n^2-(n+1)=n(n-1)-1\ge2\cdot1-1=1>0,$

więc nierówność jest spełniona przez każdą liczbę naturalną większą od $1$.

Wyłączamy $n!$ przed nawias:

$$(n+1)!-n!=(n+1)n!-n!=n!\big((n+1)-1\big)=n\cdot n!.$$

Zastosujmy tę równość kolejno dla $k=1,2,\ldots,n$:

$k\cdot k!=(k+1)!-k!.$

Po zsumowaniu prawa strona teleskopuje:

$$\sum_{k=1}^{n}k\cdot k! =\sum_{k=1}^{n}\big((k+1)!-k!\big) =(n+1)!-1! =(n+1)!-1.$$

Liczba zer na końcu $n!$ jest równa liczbie czynników $5$ w rozkładzie tej silni:

\left\lfloor\frac n{25}\right\rfloor+ \left\lfloor\frac n{125}\right\rfloor+\cdots.$$ **a)** $v_5(15!)=3$. **b)** $v_5(30!)=6+1=7$. **c)** $v_5(100!)=20+4=24$.

Szukamy nieporządków, czyli permutacji bez punktów stałych. Oznaczmy ich liczbę przez $D_n$. Zachodzi rekurencja

$D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2}),\qquad D_1=0,\quad D_2=1.$

Stąd

$$D_3=2(1+0)=2,\qquad D_4=3(2+1)=9,\qquad D_5=4(9+2)=44.$$