MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 16

W obu liczbach wszystkie cyfry są różne i żadna z nich nie jest zerem, więc każda permutacja cyfr daje poprawną liczbę.

a) Liczba ustawień pięciu cyfr wynosi $5!=120$.

b) Liczba ustawień sześciu cyfr wynosi $6!=720$.

a) Bez zera używamy dokładnie raz wszystkich cyfr od $1$ do $9$. Można je ustawić na $9!=362\,880$ sposobów.

b) Używamy wszystkich dziesięciu cyfr. Pierwszą pozycję obsadzamy jedną z dziewięciu cyfr niezerowych, a pozostałe cyfry ustawiamy dowolnie:

$9\cdot9!=3\,265\,920.$

a) Liczba jest mniejsza od $50\,000$, gdy pierwszą cyfrą jest $1$, $2$, $3$ albo $4$. Po jej wyborze pozostałe cztery cyfry można ustawić na $4!$ sposobów, zatem otrzymujemy $4\cdot4!=96$ liczb.

b) Liczba jest większa od $30\,000$, gdy pierwszą cyfrą jest $3$, $4$ albo $5$. Stąd liczba ustawień wynosi $3\cdot4!=72$.

a) Spośród podanych cyfr tylko $5$ może być cyfrą jedności liczby podzielnej przez $5$. Pozostałych pięć cyfr ustawiamy na $5!=120$ sposobów.

b) Cyfrą jedności liczby parzystej może być $4$, $6$ albo $8$. Po jej wyborze pozostałe cyfry ustawiamy na $5!$ sposobów, więc liczba ustawień to $3\cdot5!=360$.

Jeżeli zbiór ma $n$ elementów, liczba jego permutacji wynosi $n!$. Rozpoznajemy kolejne wartości silni:

$24=4!,\qquad120=5!,\qquad40\,320=8!,\qquad3\,628\,800=10!.$

a) Wszystkie przydziały $n$ różnych numerów mają liczność $n!$. Ponieważ $5040=7!$, otrzymujemy $n=7$.

b) Liczba sposobów rozdania numerów nieparzystych jest silnią liczby tych numerów. Z równości $720=6!$ wynika, że numerów nieparzystych było sześć. Wśród liczb od $1$ do $n$ dzieje się tak zarówno dla $n=11$, jak i dla $n=12$.

a) Każdy z czterech różnych pokoi zajmuje inna osoba, więc liczba zakwaterowań wynosi $4!=24$.

b) Kolejne osoby mają odpowiednio $5$, $4$, $3$ i $2$ możliwości wyboru wolnego pokoju. Zatem otrzymujemy $5\cdot4\cdot3\cdot2=120$ zakwaterowań.

a) Skoro siedem rozróżnialnych kul zajmuje siedem szuflad i żadna nie jest pusta, każda szuflada zawiera jedną kulę. Liczba bijekcji wynosi $7!=5040$.

b) Najpierw wybieramy jedną z ośmiu pustych szuflad. Następnie rozkładamy kule po jednej do pozostałych szuflad na $7!$ sposobów. Łącznie jest $8\cdot7!=40\,320$ rozmieszczeń.