Cała strona · Podręcznik · szkoła średnia

MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 166

rozdział 3. Bryly obrotowe · temat „*3.8. Zagadnienia optymalizacyjne” · 3 zadania z rozwiązaniem

Rozwiązania: opracowanie własne

Ćwiczenie 1

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Przekrój osiowy ma boki $2r$ i $h$ . Z obwodu $12$ cm: $2(2r+h)=12,\qquad h=6-2r,\quad 0<r<3.$ Objętość jest funkcją $V(r)=\pi r^2(6-2r).$ Jej pochodna $V'(r)=6\pi r(2-r)$ zmienia znak z dodatniego na ujemny przy $r=2$ . Wtedy $h=2$ .

Odpowiedź

$r=2$ cm i $h=2$ cm.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 2

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Przyjmujemy decymetry. Z warunku objętości $\pi r^2h=1$ mamy $h=1/(\pi r^2)$ . Pole materiału zamkniętej puszki wynosi $S(r)=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi r^2+\frac2r.$ Równanie $S'(r)=4\pi r-2/r^2=0$ daje $r^3=\frac1{2\pi}.$ Pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni, więc jest to minimum. Po podstawieniu do wzoru na $h$ otrzymujemy $h=2r$ .

Odpowiedź

$r=\sqrt[3]{\frac1{2\pi}}\ \text{dm}$ , $h=2\sqrt[3]{\frac1{2\pi}}\ \text{dm}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 3

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Liczymy w centymetrach, więc $V=400\ \text{cm}^3$ i $h=400/(\pi r^2)$ . Przyjmując cenę jednostkową blachy bocznej za $1$ , koszt jest proporcjonalny do

=\frac{800}{r}+8{,}4r^2.$$ Warunek $K'(r)=0$ daje $$-\frac{800}{r^2}+16{,}8r=0,qquad r^3=\frac{1000}{21}.$$ Pochodna przechodzi z wartości ujemnych w dodatnie, zatem otrzymujemy minimum. Następnie obliczamy $h=400/(\pi r^2)$.

Odpowiedź

$r=\frac{10\sqrt[3]{441}}{21}$ cm, $h=\frac{4\sqrt[3]{441}}{\pi}$ cm.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem