MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 165

Dla sześciokąta foremnego o boku $a$ promień okręgu opisanego wynosi $a$, a wpisanego $a\sqrt3/2$. Walce mają wspólną wysokość, więc stosunek ich objętości jest ilorazem kwadratów tych promieni: $\frac{a^2}{(a\sqrt3/2)^2}=\frac43.$

Niech bok kwadratowej podstawy będzie równy $a$, a wysokość $h$. Z warunku $2a^2+4ah=16.$ Walec wpisany ma promień $a/2$ i wysokość $h$, zatem

Przeciwprostokątna podstawy ma długość $10$. Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym wynosi więc $5$, a promień okręgu wpisanego $r=\frac{6+8-10}{2}=2.$ Oba walce mają wysokość $5$ cm.

Niech $H$ będzie wysokością stożka. Na wysokości $4$ nad podstawą promień przekroju stożka wynosi $2$. Z podobieństwa przekrojów $\frac23=1-\frac4H,$ skąd $H=12$.

Rozwinięcie powierzchni bocznej jest półkolem o promieniu równym tworzącej $l$. Jego łuk ma długość $\pi l$ i jest obwodem podstawy stożka: $\pi l=2\pi\cdot5$, więc $l=10$. Stąd wysokość stożka, a zarazem walca, wynosi $h=\sqrt{10^2-5^2}=5\sqrt3.$ Pole całkowite walca to $2\pi r^2+2\pi rh$.

Stożek i walec mają wspólny promień $r$ oraz wysokość $h$. Równość pól bocznych daje $\pi rl=2\pi rh,$ czyli $l=2h$. Z zależności $l^2=r^2+h^2$ wynika $r=\sqrt3h$. Tworząca jest zatem nachylona do podstawy pod kątem $30^\circ$, więc pełny kąt rozwarcia stożka ma miarę $120^\circ$.

Oznaczmy mniejszy promień przez $r$, większy przez $4r$, a wysokość przez $h$. Z położenia walca na rysunku wynika, że ma on promień $r$ i wysokość $h$. Zatem $V_w=\pi r^2h,$ $V_s=\frac13\pi h\bigl((4r)^2+4r\cdot r+r^2\bigr)=7\pi r^2h.$

Niech promienie podstaw stożka ściętego będą równe $R,r$, a promień wpisanej kuli $\rho$. Wtedy wysokość stożka wynosi $2\rho$, a warunek styczności w przekroju osiowym daje $\rho^2=Rr$. Z warunku $V_k=\frac14V_s$ otrzymujemy $R^2+Rr+r^2=8Rr,$ czyli $R^2+r^2=7Rr$. Stąd $(R+r)^2=9Rr$. Długość tworzącej jest równa $R+r$, a wysokość $2\sqrt{Rr}$.

Niech krawędź sześcianu będzie równa $a$. Z rysunku wynika, że dolna podstawa leży w płaszczyźnie podstawy półkuli, a górne wierzchołki należą do sfery. Odległość górnego wierzchołka od środka półkuli spełnia

Wymiary prostopadłościanu to $x,x,2x$. Rozpatrujemy dwa ustawienia na podstawie półkuli.

Gdy wysokość wynosi $2x$, odległość górnego wierzchołka od środka jest $3x/\sqrt2$, więc $x\le5\sqrt2$ i $V\le500\sqrt2$.

Gdy wysokość wynosi $x$, a podstawa ma wymiary $x\times2x$, otrzymujemy $15^2=x^2+\left(\frac x2\right)^2+x^2=\frac94x^2,$ więc $x\le10$ i $V\le2x^3=2000$. Drugi wynik jest większy.