MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 167

Dla zamkniętego walca o ustalonej objętości minimum pola powierzchni zachodzi przy $h=2r$. Można to otrzymać z funkcji $S(r)=2\pi r^2+4/r$ po podstawieniu $h=2/(\pi r^2)$. Z warunku objętości $2=\pi r^2(2r)$ wynika $r^3=1/\pi$. Pole etykiety jest polem powierzchni bocznej: $P_b=2\pi rh=4\pi r^2.$

Z warunku pola całkowitego $2\pi r^2+2\pi rh=S$ wyznaczamy $h=\frac{S}{2\pi r}-r.$ Objętość jako funkcja promienia ma postać $V(r)=\frac S2r-\pi r^3.$ Równanie $V'(r)=\frac S2-3\pi r^2=0$ daje $r=\sqrt{S/(6\pi)}$. Pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny, więc jest to maksimum. Po podstawieniu do wzoru na $h$ dostajemy $h=2r$.

Dla tworzącej $6$ mamy $r^2+h^2=36$. Objętość jako funkcja wysokości jest równa $V(h)=\frac\pi3(36-h^2)h,\qquad 0<h<6.$ Z równania $V'(h)=\frac\pi3(36-3h^2)=0$ otrzymujemy $h=2\sqrt3$. Pochodna zmienia wtedy znak z dodatniego na ujemny, więc objętość jest największa. Promień spełnia $r^2=24$.